Find the value of cos2B in triangle ABC, where ∠C is a right angle and sinB is equal to 3√5/10√5

Хорошо! Для начала рассмотрим треугольник ABC, в котором угол C является прямым, а sinB равен \( \frac{{3\sqrt{5}}}{{10\sqrt{5}}} \).

Мы знаем, что sinB равно отношению противоположной стороны к гипотенузе. Таким образом, мы можем записать, что sinB равно отношению стороны AC к гипотенузе AB.

Теперь, чтобы найти значение cos2B, мы должны рассмотреть косинус двойного угла B. Формула для вычисления косинуса двойного угла B выглядит следующим образом: cos2B = cos^2B - sin^2B.

Распишем это выражение. Нам известно значение sinB, поэтому мы можем заменить его в формуле: cos2B = cos^2B - \((\frac{{3\sqrt{5}}}{{10\sqrt{5}}})^2\).

Теперь нам потребуется найти значение cosB. Для этого мы будем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABC. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух катетов.

В треугольнике ABC гипотенузой является сторона AB, а катетами являются стороны AC и BC. Поэтому можем записать: AB^2 = AC^2 + BC^2.

Учитывая, что угол C является прямым, то сторона BC будет гипотенузой, а сторона AC будет катетом. Поэтому получаем: AB^2 = AC^2 + BC^2 = AC^2 + BC^2 = BC^2.

Таким образом, можно сказать, что AB^2 = BC^2.

Исходя из этого можно выразить BC через AB, используя равенство: BC = AB.

Теперь вернемся к выражению для cos2B: cos2B = cos^2B - \((\frac{{3\sqrt{5}}}{{10\sqrt{5}}})^2\).

Вместо cosB мы подставим BC/AB, где BC равно AB: cos2B = \((\frac{{AB}}{{AB}})\)^2 - \((\frac{{3\sqrt{5}}}{{10\sqrt{5}}})^2\).

Раскроем скобки и упростим выражение: cos2B = 1 - \frac{{45}}{{100}} = 1 - 0,45 = 0,55.

Таким образом, значение cos2B равно 0,55.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.