Какова площадь параллелограмма ABCD, если известно, что BE = 5 и BF = 4, а угол D равен 150 градусов, а угол E равен

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, нам понадобится знать длины его сторон и значения углов. Дано, что BE = 5 и BF = 4. Также, известно, что угол D равен 150 градусов, а угол E равен 90 градусов.

Мы можем воспользоваться следующими формулами для нахождения площади параллелограмма:

\[S = a \cdot b \cdot \sin\theta\]

где S - площадь параллелограмма, a и b - длины двух сторон параллелограмма (мы должны выбрать две стороны, зная что параллельные стороны равны), и \(\theta\) - угол между этими сторонами.

Возьмем стороны BE и BF, так как они предоставлены задачей. Используя закон синусов и зная, что у нас прямой угол в точке E, мы можем найти длину стороны BC:

\[BC = \sqrt{BE^2 + BF^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}.\]

Значение угла D составляет 150 градусов. Так как сумма углов в параллелограмме равна 360 градусов, угол A равен:

\[A = 360^\circ - D = 360^\circ - 150^\circ = 210^\circ.\]

Таким образом, у нас теперь есть все известные данные, чтобы рассчитать площадь параллелограмма. Длина стороны BC равна \(\sqrt{41}\), длина стороны BE равна 5, а угол между ними (угол A) равен 210 градусов.

Остается только подставить значения в формулу для площади:

\[S = BC \cdot BE \cdot \sin A = \sqrt{41} \cdot 5 \cdot \sin 210^\circ.\]

Теперь нам нужно вычислить значение синуса угла 210 градусов, но перед этим стоит обратить внимание на то, что синус отрицательный в третьем квадранте. Таким образом, для 210 градусов:

\[\sin 210^\circ = - \sin 30^\circ = -\frac{1}{2}.\]

Теперь мы можем окончательно вычислить площадь:

\[S = \sqrt{41} \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5\sqrt{41}}{2}.\]

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна \(-\frac{5\sqrt{41}}{2}\).