Каково отношение площади сечения к площади основания четырёхугольной пирамиды, если сечение параллельно её основанию

Чтобы решить данную задачу, нам нужно установить отношение площади сечения к площади основания четырёхугольной пирамиды, исходя из условия, что сечение параллельно её основанию и делит высоту пирамиды в отношении 10 : 15, считая от вершины.

Давайте представим пирамиду со сторонами основания \(ABCD\) и вершиной \(E\). Пусть \(F\) и \(G\) - точки пересечения высоты, которая делит её в отношении 10 : 15.

Мы можем заметить, что высота делит пирамиду на два подобных треугольника: \(AEB\) и \(FEG\). Оба треугольника имеют сходные углы и общую вершину \(E\).

Поскольку высота делит пирамиду в отношении 10 : 15, давайте обозначим длину полной высоты \(EH\) как \(h\). Тогда длина отрезка \(FG\) будет равна \(\frac{10}{10+15}h = \frac{10}{25}h\) и длина отрезка \(EG\) будет равна \(\frac{15}{10+15}h = \frac{15}{25}h\).

Теперь, чтобы найти отношение площади сечения к площади основания пирамиды, давайте рассмотрим отношение площадей треугольников \(AEB\) и \(FEG\). Пусть площадь треугольника \(AEB\) будет обозначена как \(S_{AEB}\), а площадь треугольника \(FEG\) будет обозначена как \(S_{FEG}\).

Площадь треугольника пропорциональна квадрату длины его стороны. Таким образом, отношение площадей треугольников будет равно квадрату отношения длин их соответствующих сторон:

\[
\frac{S_{AEB}}{S_{FEG}} = \left(\frac{AE}{FE}\right)^2
\]

Мы знаем, что треугольники \(AEB\) и \(FEG\) подобны, поэтому соответственные стороны пропорциональны. Длина стороны \(AE\) равна высоте пирамиды \(h\), а длина стороны \(FE\) равна разнице длин отрезков \(FG\) и \(EG\). Подставим значения и вычислим:

\[
\frac{S_{AEB}}{S_{FEG}} = \left(\frac{h}{\frac{10}{25}h - \frac{15}{25}h}\right)^2
\]

Упростив выражение, получим:

\[
\frac{S_{AEB}}{S_{FEG}} = \left(\frac{h}{\frac{10-15}{25}h}\right)^2 = \left(\frac{h}{-\frac{5}{25}h}\right)^2 = \left(\frac{h}{-0.2h}\right)^2 = (-5)^2 = 25
\]

Таким образом, отношение площади сечения к площади основания четырёхугольной пирамиды равно 25.