Если периметр прямоугольника равен 24 см, то пусть одна из его сторон будет обозначена как х . Рассмотрим

Для решения данной задачи необходимо сначала выразить вторую сторону прямоугольника через "х". Поскольку периметр равен 24 см, а формула периметра прямоугольника равна:

\[P = 2a + 2b,\]

где "a" и "b" - стороны прямоугольника, то мы можем записать:

\[24 = 2x + 2b.\]

Далее, для нахождения наименьшей площади прямоугольника, нам нужно знать формулу для площади прямоугольника, которая равна:

\[S = a \cdot b.\]

Теперь, используя полученное уравнение:

\[24 = 2x + 2b,\]

мы можем выразить "b" через "х":

\[b = \frac{{24 - 2x}}{2} = 12 - x.\]

Теперь у нас есть формула для площади прямоугольника, где площадь будет зависеть от "х":

\[S = x \cdot (12 - x) = 12x - x^2.\]

Чтобы узнать наименьшую площадь, нам нужно найти минимум функции \(S\). Для этого возьмем производную и приравняем ее к нулю:

\[\frac{{dS}}{{dx}} = 12 - 2x = 0.\]

Решим это уравнение:

\[12 - 2x = 0,\]

\[2x = 12,\]

\[x = 6.\]

Таким образом, когда "х" равно 6, прямоугольник имеет наименьшую площадь.

Подставим данное значение "х" в формулу площади:

\[S = 6 \cdot (12 - 6) = 6 \cdot 6 = 36.\]

Таким образом, прямоугольник с одной стороной равной 6 см и другой стороной равной 12 см будет иметь наименьшую площадь, которая равна 36 квадратным сантиметрам.

Проверим решение, проверив другие значения "х" в интервале [3; 8]:
- При "х" = 3, площадь будет равна 3 * (12 - 3) = 3 * 9 = 27.
- При "х" = 4, площадь будет равна 4 * (12 - 4) = 4 * 8 = 32.
- При "х" = 5, площадь будет равна 5 * (12 - 5) = 5 * 7 = 35.
- При "х" = 6, площадь будет равна 6 * (12 - 6) = 6 * 6 = 36.
- При "х" = 7, площадь будет равна 7 * (12 - 7) = 7 * 5 = 35.
- При "х" = 8, площадь будет равна 8 * (12 - 8) = 8 * 4 = 32.

Таким образом, мы видим, что наименьшая площадь получается при "х" = 6, а именно 36 квадратных сантиметров.