Какой коэффициент будет у x^4 в результате возведения (2x^2+2x+1) в степень 5?
Zvezdnyy_Snayper_2402
Чтобы вычислить коэффициент при \(x^4\) в результате возведения \((2x^2+2x+1)\) в степень, мы можем использовать бином Ньютона. Бином Ньютона позволяет раскрыть скобку в степени и определить коэффициенты при каждом члене.
Формула бинома Ньютона имеет вид:
\[(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1}b^1 + C(n,2)a^{n-2}b^2 + \ldots + C(n,n-1)a^1 b^{n-1} + C(n,n)a^0 b^n\]
Где \(C(n,k)\) - это биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Применяя эту формулу к выражению \((2x^2+2x+1)^4\), мы можем найти коэффициент при \(x^4\).
Первым шагом представим \((2x^2+2x+1)^4\) с помощью бинома Ньютона:
\[(2x^2+2x+1)^4 = C(4,0)(2x^2)^4 + C(4,1)(2x^2)^3(2x)^1 + C(4,2)(2x^2)^2(2x)^2 + C(4,3)(2x^2)^1(2x)^3 + C(4,4)(2x^2)^0(2x)^4\]
Теперь упростим каждое слагаемое, используя биномиальные коэффициенты:
\[C(4,0)(2x^2)^4 = 1 \cdot (2x^2)^4 = 16x^8\]
\[C(4,1)(2x^2)^3(2x)^1 = 4 \cdot (2x^2)^3(2x)^1 = 32x^7\]
\[C(4,2)(2x^2)^2(2x)^2 = 6 \cdot (2x^2)^2(2x)^2 = 24x^6\]
\[C(4,3)(2x^2)^1(2x)^3 = 4 \cdot (2x^2)^1(2x)^3 = 32x^5\]
\[C(4,4)(2x^2)^0(2x)^4 = 1 \cdot (2x)^4 = 16x^4\]
Теперь сложим все полученные члены, чтобы найти итоговый коэффициент при \(x^4\):
\[16x^8 + 32x^7 + 24x^6 + 32x^5 + 16x^4\]
Итак, коэффициент при \(x^4\) в результате возведения \((2x^2+2x+1)\) в степень равен 16.
Формула бинома Ньютона имеет вид:
\[(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1}b^1 + C(n,2)a^{n-2}b^2 + \ldots + C(n,n-1)a^1 b^{n-1} + C(n,n)a^0 b^n\]
Где \(C(n,k)\) - это биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Применяя эту формулу к выражению \((2x^2+2x+1)^4\), мы можем найти коэффициент при \(x^4\).
Первым шагом представим \((2x^2+2x+1)^4\) с помощью бинома Ньютона:
\[(2x^2+2x+1)^4 = C(4,0)(2x^2)^4 + C(4,1)(2x^2)^3(2x)^1 + C(4,2)(2x^2)^2(2x)^2 + C(4,3)(2x^2)^1(2x)^3 + C(4,4)(2x^2)^0(2x)^4\]
Теперь упростим каждое слагаемое, используя биномиальные коэффициенты:
\[C(4,0)(2x^2)^4 = 1 \cdot (2x^2)^4 = 16x^8\]
\[C(4,1)(2x^2)^3(2x)^1 = 4 \cdot (2x^2)^3(2x)^1 = 32x^7\]
\[C(4,2)(2x^2)^2(2x)^2 = 6 \cdot (2x^2)^2(2x)^2 = 24x^6\]
\[C(4,3)(2x^2)^1(2x)^3 = 4 \cdot (2x^2)^1(2x)^3 = 32x^5\]
\[C(4,4)(2x^2)^0(2x)^4 = 1 \cdot (2x)^4 = 16x^4\]
Теперь сложим все полученные члены, чтобы найти итоговый коэффициент при \(x^4\):
\[16x^8 + 32x^7 + 24x^6 + 32x^5 + 16x^4\]
Итак, коэффициент при \(x^4\) в результате возведения \((2x^2+2x+1)\) в степень равен 16.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
