Алгебра: Докажите тождество, Ctg2B-ctg4B=1/sin4B. Помогите

Докажите тождество, Ctg2B-ctg4B=1/sin4B. Помогите

Докажите тождество, Ctg2B-ctg4B=1/sin4B. Помогите.

Давайте докажем данное тождество. Для этого мы будем использовать формулы тригонометрии.

Начнем с левой части тождества:

\ctg^{2} B - \ctg^{4} B

По формуле превращения функций тангенса и котангенса:

\ctg^{2} B = \frac{1}{\tan^{2} B}

Мы можем переписать левую часть тождества следующим образом:

\frac{1}{\tan^{2} B} - {(\frac{1}{\tan^{2} B})}^{2}

Теперь упростим второе слагаемое:

{(\frac{1}{\tan^{2} B})}^{2} = \frac{1}{\tan^{4} B}

Таким образом, левая часть тождества примет вид:

\frac{1}{\tan^{2} B} - \frac{1}{\tan^{4} B}

Теперь мы можем использовать формулу тригонометрии:

\frac{1}{\tan^{2} B} - \frac{1}{\tan^{4} B} = \frac{\sin^{4} B}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B} - \frac{\cos^{4} B}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B}

Получаем:

\frac{\sin^{4} B - \cos^{4} B}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B}

Мы можем применить разность квадратов:

\frac{(\sin^{2} B - \cos^{2} B) (\sin^{2} B + \cos^{2} B)}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B}

Поскольку

\sin^{2} B + \cos^{2} B = 1

, получим:

\frac{\sin^{2} B - \cos^{2} B}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B}

Дальше мы можем использовать формулу разности квадратов:

\frac{(\sin B - \cos B) (\sin B + \cos B)}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B}

Замечаем, что

\sin B + \cos B = \cos B + \sin B = \sqrt{2} \sin (B + \frac{π}{4})

\frac{(\sin B - \cos B) (\sqrt{2} \sin (B + \frac{π}{4}))}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B}

Теперь мы можем использовать тождество

\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ

\frac{(\sin B - \cos B) (\sqrt{2} \cdot 2 \sin B \cos B)}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B}

Сокращаем подобные выражения:

\frac{2 (\sin B - \cos B) \sin B \cos B}{\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B}

Делим числитель и знаменатель на

\sin^{2} B \cdot \cos^{2} B

\frac{2 (\sin B - \cos B)}{\sin B \cdot \cos B}

Теперь используем формулу тангенса:

2 \cdot \frac{(\tan B - 1)}{\tan B}

Применяем формулу разности для тангенса:

2 \cdot \frac{\frac{\sin B}{\cos B} - 1}{\frac{\sin B}{\cos B}}

Упрощаем:

2 \cdot \frac{\frac{\sin B - \cos B}{\cos B}}{\frac{\sin B}{\cos B}}

Или:

2 \cdot \frac{\sin B - \cos B}{\sin B}

Таким образом, мы получили правую часть тождества:

\frac{2 (\sin B - \cos B)}{\sin B}

И так, мы можем заключить, что:

\ctg^{2} B - \ctg^{4} B = \frac{2 (\sin B - \cos B)}{\sin B}

Путем приведения преобразований мы доказали данное тождество.

Знаешь ответ?

Алгебра

Алгебра