Докажите тождество, Ctg2B-ctg4B=1/sin4B. Помогите

Давайте докажем данное тождество. Для этого мы будем использовать формулы тригонометрии.

Начнем с левой части тождества:

\[ \ctg^2 B - \ctg^4 B \]

По формуле превращения функций тангенса и котангенса:

\[ \ctg^2 B = \frac{1}{\tan^2 B} \]

Мы можем переписать левую часть тождества следующим образом:

\[ \frac{1}{\tan^2 B} - \left(\frac{1}{\tan^2 B}\right)^2 \]

Теперь упростим второе слагаемое:

\[ \left(\frac{1}{\tan^2 B}\right)^2 = \frac{1}{\tan^4 B} \]

Таким образом, левая часть тождества примет вид:

\[ \frac{1}{\tan^2 B} - \frac{1}{\tan^4 B} \]

Теперь мы можем использовать формулу тригонометрии:

\[ \frac{1}{\tan^2 B} - \frac{1}{\tan^4 B} = \frac{\sin^4 B}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} - \frac{\cos^4 B}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} \]

Получаем:

\[ \frac{\sin^4 B - \cos^4 B}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} \]

Мы можем применить разность квадратов:

\[ \frac{(\sin^2 B - \cos^2 B)(\sin^2 B + \cos^2 B)}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} \]

Поскольку \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\), получим:

\[ \frac{\sin^2 B - \cos^2 B}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} \]

Дальше мы можем использовать формулу разности квадратов:

\[ \frac{(\sin B - \cos B)(\sin B + \cos B)}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} \]

Замечаем, что \(\sin B + \cos B = \cos B + \sin B = \sqrt{2} \sin \left(B + \frac{\pi}{4}\right)\):

\[ \frac{(\sin B - \cos B)(\sqrt{2} \sin \left(B + \frac{\pi}{4}\right))}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} \]

Теперь мы можем использовать тождество \(\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta\):

\[ \frac{(\sin B - \cos B)(\sqrt{2} \cdot 2 \sin B \cos B)}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} \]

Сокращаем подобные выражения:

\[ \frac{2(\sin B - \cos B) \sin B \cos B}{\sin^2 B \cdot \cos^2 B} \]

Делим числитель и знаменатель на \(\sin^2 B \cdot \cos^2 B\):

\[ \frac{2 (\sin B - \cos B)}{\sin B \cdot \cos B} \]

Теперь используем формулу тангенса:

\[ 2 \cdot \frac{(\tan B - 1)}{\tan B} \]

Применяем формулу разности для тангенса:

\[ 2 \cdot \frac{\frac{\sin B}{\cos B} - 1}{\frac{\sin B}{\cos B}} \]

Упрощаем:

\[ 2 \cdot \frac{\frac{\sin B - \cos B}{\cos B}}{\frac{\sin B}{\cos B}} \]

Или:

\[ 2 \cdot \frac{\sin B - \cos B}{\sin B} \]

Таким образом, мы получили правую часть тождества:

\[ \frac{2 (\sin B - \cos B)}{\sin B} \]

И так, мы можем заключить, что:

\[ \ctg^2 B - \ctg^4 B = \frac{2 (\sin B - \cos B)}{\sin B} \]

Путем приведения преобразований мы доказали данное тождество.