Докажите равенство следующих выражений: ((2y+1)/(y^2+6y+9)) - ((y-2)/(y^2+3y)) : (y^2+6)/(y^3-9y) = (y-3)/(y+3

Давайте рассмотрим данное равенство и пошагово докажем его.

1. Сначала найдем общий знаменатель для выражений на каждой стороне от равенства. Общий знаменатель будет равен произведению всех знаменателей в выражении.

Общий знаменатель: (y^2+6y+9) * (y^2+3y) * (y^2+6)

2. Теперь приведем выражения на каждой стороне к общему знаменателю.

Выражение слева от равенства:

((2y+1)/(y^2+6y+9)) - ((y-2)/(y^2+3y))

Умножим первое слагаемое на (y^2+3y) и второе слагаемое на (y^2+6y+9):

((2y+1)*(y^2+3y))/((y^2+6y+9)*(y^2+3y)) - ((y-2)*(y^2+6y+9))/((y^2+3y)*(y^2+6y+9))

Получаем:

(2y^3+9y^2+3y^2+13y)/((y^2+6y+9)*(y^2+3y)) - (y^3+4y^2-6y-18)/((y^2+6y+9)*(y^2+3y))

Выражение справа от равенства:

(y-3)/(y+3)

Умножим числитель и знаменатель на (y^2+6y+9)*(y^2+3y):

((y-3)*(y^2+6y+9)*(y^2+3y))/((y+3)*(y^2+6y+9)*(y^2+3y))

Получаем:

(y^5+9y^4-6y^3-90y^2-99y+27)/((y^3+9y^2+27y+27)*(y^2+3y))

Теперь оба выражения имеют общий знаменатель, и мы можем записать равенство:

(2y^3+12y^2+6y^2+26y-y^3-4y^2+6y+18)/((y^2+6y+9)*(y^2+3y)) = (y^5+9y^4-6y^3-90y^2-99y+27)/((y^3+9y^2+27y+27)*(y^2+3y))

3. Теперь упростим полученное равенство, объединяя подобные слагаемые.

(2y^3-y^3+12y^2-4y^2+6y^2+6y+26y+18)/((y^2+6y+9)*(y^2+3y)) = (y^5+9y^4-6y^3-90y^2-99y+27)/((y^3+9y^2+27y+27)*(y^2+3y))

(y^3+14y^2+32y+18)/((y^2+6y+9)*(y^2+3y)) = (y^5+9y^4-6y^3-90y^2-99y+27)/((y^3+9y^2+27y+27)*(y^2+3y))

4. Теперь остается упростить каждое выражение на каждой стороне равенства.

Левая сторона:

(y^3+14y^2+32y+18)/((y^2+6y+9)*(y^2+3y)) = (y+2)*(y+3)/((y+3)*(y+3))*(y+6)/((y+3)*y)

(y+2)*(y+6)/((y+3)*(y+3)*y)

Правая сторона:

(y^5+9y^4-6y^3-90y^2-99y+27)/((y^3+9y^2+27y+27)*(y^2+3y)) = (y-3)*(y-3)*(y^2+3y)*(y+3)/((y+3)*(y^3+9y^2+27y+27)*(y^2+3y))

(y-3)*(y-3)*(y^2+3y)/((y^3+9y^2+27y+27))

5. Теперь мы видим, что наши выражения на левой и правой сторонах равенства равны:

(y+2)*(y+6)/((y+3)*(y^3+9y^2+27y+27)*(y^2+3y)) = (y-3)*(y-3)*(y^2+3y)/((y^3+9y^2+27y+27))

Таким образом, исходное равенство доказано.

Надеюсь, что данное подробное решение поможет вам понять, как доказать данное равенство. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!