Докажите, что угол ABC равен 32 градусам, угол BCD равен 85 градусам, и угол CDE равен 53 градусам на данном рисунке

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать некоторые основные свойства углов и треугольников.

1. Рассмотрим треугольник ABC. У каждого треугольника сумма внутренних углов равна 180 градусам. Поэтому, мы можем записать уравнение:
\( \angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ \)

2. Из условия задачи известно, что угол ABC равен 32 градусам. Подставим это значение в уравнение и получим:
\( 32^\circ + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ \)

3. Рассмотрим треугольник BCD. Из условия задачи, угол BCD равен 85 градусам. Воспользуемся суммой углов треугольника:
\( \angle BCA + 85^\circ + \angle CDB = 180^\circ \)

4. Рассмотрим треугольник CDE. Из условия задачи, угол CDE равен 53 градусам. Воспользуемся суммой углов треугольника:
\( \angle CAB + \angle CDB + 53^\circ = 180^\circ \)

5. Теперь, чтобы решить данную систему уравнений, мы должны совместить их. Для этого сложим второе и третье уравнение (из пунктов 3 и 4). Получим:
\( \angle BCA + 85^\circ + \angle CAB + \angle CDB + 53^\circ = 180^\circ \)

6. Заменим \(\angle BCA + \angle CAB\) на \(32^\circ\) согласно первому уравнению, и получим:
\( 32^\circ + \angle CDB + 85^\circ + \angle CDB + 53^\circ = 180^\circ \)

7. Упростим уравнение:
\( 32^\circ + 2 \cdot \angle CDB + 138^\circ = 180^\circ \)

8. Вычтем 138^\circ из обеих сторон уравнения:
\( 32^\circ + 2 \cdot \angle CDB = 42^\circ \)

9. Вычтем 32^\circ из обеих сторон уравнения:
\( 2 \cdot \angle CDB = 10^\circ \)

10. Разделим обе стороны уравнения на 2:
\( \angle CDB = 5^\circ \)

Таким образом, мы решили систему уравнений и получили, что угол CDB равен 5 градусам. Зная значение этого угла, мы можем вычислить угол CAB, так как:
\( \angle CAB = 32^\circ - \angle CDB = 32^\circ - 5^\circ = 27^\circ \)

Итак, угол ABC равен 32 градусам, угол BCD равен 85 градусам, а угол CDE равен 53 градусам, как было указано в задаче.