Докажите, что среди 50 школьников, отдыхающих в лагере, найдется хотя бы один школьник, который знаком со всеми

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай
Рассмотрим ситуацию, когда в лагере находится только один школьник. В данном случае нет других людей, с которыми он мог бы быть знаком, поэтому утверждение остается верным.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что утверждение верно для $k$ школьников, то есть среди любых $k$ школьников найдется хотя бы один, знакомый со всеми остальными.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что утверждение верно для $k+1$ школьников. Пусть у нас есть $k+1$ школьников и мы выбираем одного из них. Рассмотрим этого выбранного школьника и всех остальных $k$ школьников.

Согласно предположению индукции, среди $k$ школьников найдется хотя бы один, который знаком со всеми остальными. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Выбранный школьник знаком со всеми остальными.
В этом случае утверждение остается верным.

Случай 2: Выбранный школьник не знаком со всеми остальными.
В этом случае выбранный школьник знаком только с некоторыми из $k$ школьников. Но так как среди $k$ школьников найдется хотя бы один, знакомый со всеми остальными, мы можем выбрать этого школьника вместо выбранного в начале со всеми его знакомыми. Таким образом, утверждение остается верным.

Таким образом, по принципу математической индукции, для любого $k\ge 1$ среди $k+1$ школьников найдется хотя бы один, знакомый со всеми остальными школьниками. В частности, для $k=49$, когда в лагере находится 50 школьников, утверждение также будет верным.