Докажите, что среди 50 школьников, отдыхающих в лагере, найдется хотя бы один школьник, который знаком со всеми

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай
Рассмотрим ситуацию, когда в лагере находится только один школьник. В данном случае нет других людей, с которыми он мог бы быть знаком, поэтому утверждение остается верным.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что утверждение верно для \(k\) школьников, то есть среди любых \(k\) школьников найдется хотя бы один, знакомый со всеми остальными.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что утверждение верно для \(k+1\) школьников. Пусть у нас есть \(k+1\) школьников и мы выбираем одного из них. Рассмотрим этого выбранного школьника и всех остальных \(k\) школьников.

Согласно предположению индукции, среди \(k\) школьников найдется хотя бы один, который знаком со всеми остальными. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Выбранный школьник знаком со всеми остальными.
В этом случае утверждение остается верным.

Случай 2: Выбранный школьник не знаком со всеми остальными.
В этом случае выбранный школьник знаком только с некоторыми из \(k\) школьников. Но так как среди \(k\) школьников найдется хотя бы один, знакомый со всеми остальными, мы можем выбрать этого школьника вместо выбранного в начале со всеми его знакомыми. Таким образом, утверждение остается верным.

Таким образом, по принципу математической индукции, для любого \(k \geq 1\) среди \(k+1\) школьников найдется хотя бы один, знакомый со всеми остальными школьниками. В частности, для \(k = 49\), когда в лагере находится 50 школьников, утверждение также будет верным.