Сколько целых решений имеет неравенство f (х) < 0 для функции f(x) = 2x^3 - 6x^2

Для начала, давайте найдем производную функции \(f(x)\), чтобы понять ее поведение.

\[f(x) = 2x^3 - 6x^2\]

Чтобы найти производную, мы берем степень каждого члена и умножаем на его коэффициент, а затем уменьшаем степень на 1:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2)\]
\[f"(x) = 6x^2 - 12x\]

Теперь найдем вторую производную, проделав то же самое с производной функции:

\[f""(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x)\]
\[f""(x) = 12x - 12\]

Теперь неравенство \(f""(x) < 0\) говорит нам о том, что вторая производная должна быть отрицательной, чтобы функция \(f(x)\) была вогнутой вниз ("выгибалась" вниз).

Чтобы найти точки перегиба (точки, где \(f""(x) = 0\)), мы приравниваем \(f""(x)\) к нулю и решаем уравнение:

\[12x - 12 = 0\]
\[12x = 12\]
\[x = 1\]

Теперь нам нужно проверить значения \(x\) между и вне интервалов, чтобы понять, как меняется знак второй производной и определить, сколько целых решений имеет неравенство \(f""(x) < 0\).

Давайте построим таблицу, чтобы проиллюстрировать это:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Интервалы} & \text{f""(x)} & \text{Знак (\(< 0\)/\(> 0\))} \\
\hline
(-\infty, 1) & \text{Отрицательный} & \text{< 0} \\
\hline
(1, \infty) & \text{Положительный} & \text{> 0} \\
\hline
\end{array}
\]

Из этой таблицы мы видим, что в интервале \((- \infty, 1)\) вторая производная \(f""(x)\) отрицательна, а в интервале \((1, \infty)\) она положительная.

Таким образом, у нас есть только одно решение неравенства \(f""(x) < 0\) для функции \(f(x) = 2x^3 - 6x^2\), и это решение находится в интервале \((- \infty, 1)\).

Надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.