докажите, что не меньше двух из них работали вместе во время дежурства в течение 100 дней

Для доказательства того, что не меньше двух человек работали вместе во время дежурства в течение 100 дней, мы можем использовать принцип Дирихле. Принцип Дирихле утверждает, что если \( n \) объектов распределены между \( m \) контейнерами, где \( n > m \), то хотя бы один контейнер содержит не менее двух объектов.

Применим этот принцип к данной задаче. Предположим, что у нас есть 100 дней и каждый день был разделен на дежурства для школьников. Таким образом, у нас есть 100 "контейнеров" - дни. Учеников, работавших вместе в каждый день, можно рассматривать как "объекты", которые нужно распределить по дням.

Если у нас есть больше, чем 100 учеников, то по принципу Дирихле у нас обязательно найдутся две или более пары учеников, работавших вместе в один и тот же день. Рассмотрим следующие сценарии:

1. Если у нас есть 101 ученик, то по крайней мере у двух учеников должен быть совпадающий день дежурства.
2. Если у нас есть 102 ученика, то по крайней мере у трех учеников должен быть совпадающий день дежурства.
3. Если у нас есть 103 ученика, то по крайней мере у четырех учеников должен быть совпадающий день дежурства.
и так далее...

Таким образом, применяя принцип Дирихле, мы можем утверждать, что если количество учеников превышает количество дней (100), то обязательно найдутся два или более ученика, которые работали вместе во время дежурства хотя бы один раз.

Таким образом, доказывается, что не меньше двух учеников работали вместе во время дежурства в течение 100 дней.