Дайте доказательство делимости выражения (11n+4)^2-49 на 11 при всех возможных натуральных значениях

Конечно, с удовольствием помогу! Для доказательства делимости выражения \((11n+4)^2-49\) на 11 при всех возможных натуральных значениях нам необходимо воспользоваться определением делимости и алгоритмом деления.

1. Определение делимости гласит, что если при делении числа \(a\) на число \(b\) получается некоторое число \(c\), то выполняется равенство \(a = b \cdot c\). В данном случае, нам нужно доказать, что выражение \((11n+4)^2-49\) делится на 11, то есть \(11n+4\) делится на 11.

2. Для начала, рассмотрим какое-либо натуральное значение \(n\) и посмотрим, выполняется ли наше выражение при этом значении. Давайте возьмем \(n = 1\) в качестве примера.

3. Подставим \(n = 1\) в выражение \((11n+4)^2-49\) и выполним вычисления:

\[
\begin{align*}
(11 \cdot 1+4)^2-49 &= (11 + 4)^2 - 49 \\
&= (15)^2 - 49 \\
&= 225 - 49 \\
&= 176
\end{align*}
\]

4. Мы получили число 176. Теперь рассмотрим это число в контексте делимости на 11. Если число 176 делится на 11, то должно существовать такое целое число \(c\), что \(176 = 11 \cdot c\).

5. Выполним деление: \(176 = 11 \cdot 16\). Мы видим, что indeed 176 делится на 11 без остатка.

6. Так как мы смогли подобрать одно значение \(n = 1\), для которого выражение \((11n+4)^2-49\) делимо на 11, значит данное выражение делимо на 11 для всех значений \(n\).

Таким образом, мы доказали, что выражение \((11n+4)^2-49\) является делимым на 11 для всех возможных натуральных значений \(n\).