Что является упрощенным видом выражения (14p^4/5q^3) * (15q^2(p-5)^2)/(21p^2/3p^2/2q^6)?

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Нам дано выражение:
\((14p^4/5q^3) \cdot (15q^2(p-5)^2)/(21p^{2/3}p^{2/2}q^6)\)

Давайте упростим каждую часть этого выражения по порядку.

1. Начнем с упрощения первого множителя \(\frac{14p^4}{5q^3}\).

Здесь у нас есть два числителя: 14 и \(p^4\), и два знаменателя: 5 и \(q^3\).

Мы можем сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). НОД чисел 14 и 5 равен 1, и он не может быть сокращен. Также у нас нет общих множителей \(p^4\) и \(q^3\), поэтому мы не можем сократить их.

Поэтому первый множитель остается неизменным: \(\frac{14p^4}{5q^3}\).

2. Продолжим с упрощением второго множителя: \(\frac{15q^2(p-5)^2}{21p^{2/3}p^{2/2}q^6}\).

В числителе у нас есть 15, \(q^2\) и \((p-5)^2\), а в знаменателе у нас есть 21, \(p^{2/3}\), \(p^{2/2}\) и \(q^6\).

Прежде чем продолжить, вспомним некоторые свойства степеней:

- Для двух чисел a и b: \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
- \((a^x)^y = a^{xy}\)
- \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\)

Используя эти свойства, мы можем упростить выражение.

Начнем с упрощения \(p^{2/3}\) и \(p^{2/2}\).

\(p^{2/3}\) можно переписать как \(p^{2 \cdot \frac{1}{3}}\), и с использованием свойства \(a^{xy} = (a^x)^y\), мы получаем \((p^2)^{\frac{1}{3}}\).

Аналогично, \(p^{2/2}\) можно переписать как \(p^{2 \cdot \frac{1}{2}}\) и получить \((p^2)^{\frac{1}{2}}\).

Оба выражения \((p^2)^{\frac{1}{3}}\) и \((p^2)^{\frac{1}{2}}\) означают одно и то же: квадрат \(p^2\).

Теперь перепишем наши множители:

\(\frac{15q^2(p-5)^2}{21p^{2/3}p^{2/2}q^6} = \frac{15q^2(p-5)^2}{21(p^2)q^6}\)

Далее, вспомним свойство \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\) и применим его ко второму множителю:

\(\frac{15q^2(p-5)^2}{21(p^2)q^6} = \frac{15q^2(p-5)^2}{21p^{2-2/3}q^6}\)

Операция \(p^{2-2/3}\) равносильна \(p^{6/3-2/3}\), и мы получаем \(p^{4/3}\).

Теперь наше выражение выглядит так:

\(\frac{15q^2(p-5)^2}{21p^{4/3}q^6}\)

Давайте сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД числителя и знаменателя.

НОД чисел 15 и 21 равен 3, но числители и знаменатели у нас не могут быть сокращены, так как в них у нас нет общих множителей.

Итак, конечный упрощенный вид нашего выражения:

\(\frac{15q^2(p-5)^2}{21p^{4/3}q^6}\)

\(\frac{5q^2(p-5)^2}{7p^{4/3}q^6}\)

Таким образом, упрощенный вид данного выражения равен \(\frac{5q^2(p-5)^2}{7p^{4/3}q^6}\).