Что нужно сделать, чтобы найти условный экстремум функции двух переменных z = 2x - y + 1, при условии x2 – y

Для нахождения условного экстремума функции двух переменных нужно использовать метод множителей Лагранжа. Этот метод позволяет учесть условие, заданное в задаче, и найти точку, в которой достигается экстремум функции.

Шаг 1: Запишем функцию, которую нужно оптимизировать, и условие задачи:
\[z = 2x - y + 1\]
\[x^2 - y = 4\]

Шаг 2: Введём множитель Лагранжа \(\lambda\) и составим функцию Лагранжа:
\[L(x, y, \lambda) = z - \lambda \cdot g(x, y)\]
где \(g(x, y)\) – функция, заданная условием:

\[g(x, y) = x^2 - y - 4\]

Шаг 3: Найдём частные производные функции Лагранжа по каждой переменной и приравняем их к нулю:
\[\frac{\partial L}{\partial x} = 2 - 2\lambda x = 0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y} = -1 + \lambda = 0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 - y - 4 = 0\]

Шаг 4: Решим получившуюся систему уравнений. Из второго уравнения получаем \(\lambda = 1\). Подставим это значение в первое уравнение и найдём \(x\):
\[2 - 2 \cdot 1 \cdot x = 0\]
\[2 - 2x = 0\]
\[2 = 2x\]
\[x = 1\]

Подставим найденное значение \(x\) в третье уравнение и найдём \(y\):
\[1^2 - y - 4 = 0\]
\[1 - y - 4 = 0\]
\[-y - 3 = 0\]
\[-y = 3\]
\[y = -3\]

Шаг 5: Подставим найденные значения \(x\) и \(y\) в исходную функцию \(z\) и найдём значение функции в точке экстремума:
\[z = 2 \cdot 1 - (-3) + 1\]
\[z = 2 + 3 + 1\]
\[z = 6\]

Таким образом, условный экстремум функции двух переменных \(z = 2x - y + 1\) при условии \(x^2 - y = 4\) равен 6.