Что нужно найти в треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, AV равно 24 и тангенс угла A равен (3√55)/55?

Чтобы найти значения сторон треугольника ABC, воспользуемся данными и свойствами тригонометрии. Дано, что угол C равен 90 градусов, следовательно, это прямоугольный треугольник. Также известно, что AV равно 24 и тангенс угла A равен \(\frac{{3\sqrt{55}}}{{55}}\).

Шаг 1: Найдем значение синуса и косинуса угла A.
Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, где гипотенуза AC, а катеты AB и BC, имеем:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Так как угол C равен 90 градусов, где BC - катет, а AC - гипотенуза, у нас есть:
\[AC^2 = BC^2 + AV^2\]
\[AC^2 = BC^2 + 24^2\] (1)

Теперь воспользуемся тригонометрическим определением тангенса для угла A:
\[tan(A) = \frac{{AB}}{{BC}}\]

Подставим данное значение тангенса и найдем AB:
\[\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt{55}}}{{55}}\]
\[AB = BC \cdot \frac{{3\sqrt{55}}}{{55}}\] (2)

Шаг 2: Найдем значение сторон треугольника ABC.

Теперь мы имеем два уравнения (1) и (2), которые состоят только из неизвестных BC и AB. Решим их.

Подставим выражение (2) для AB в уравнение (1):
\[AC^2 = (BC \cdot \frac{{3\sqrt{55}}}{{55}})^2 + 24^2\]
\[AC^2 = \frac{{9 \cdot 55 \cdot (BC)^2}}{{55^2}} + 24^2\]
\[AC^2 = \frac{{9 \cdot 55 \cdot (BC)^2 + 24^2 \cdot 55^2}}{{55^2}}\] (3)

Теперь, воспользовавшись уравнением (3), можем выразить BC через AC:
\[AC^2 = \frac{{9 \cdot 55 \cdot (BC)^2 + 24^2 \cdot 55^2}}{{55^2}}\]
\[AC^2 \cdot 55^2 = 9 \cdot 55 \cdot (BC)^2 + 24^2 \cdot 55^2\]
\[AC^2 \cdot 55^2 - 24^2 \cdot 55^2 = 9 \cdot 55 \cdot (BC)^2\]
\[(AC^2 - 24^2) \cdot 55^2 = 9 \cdot 55 \cdot (BC)^2\]
\[(AC^2 - 24^2) = 9 \cdot (BC)^2\]
\[(AC^2 - 576) = 9 \cdot (BC)^2\]
\[(AC^2 - 576)/9 = (BC)^2\]
\[\sqrt{(AC^2 - 576)/9} = BC\]

Теперь, когда мы знаем значение BC, подставим его в выражение (2) и найдем AB:
\[AB = BC \cdot \frac{{3\sqrt{55}}}{{55}}\]

Итак, мы получили значения сторон треугольника ABC.