Чи можете ви знайти ділянки, де функція f(x)=8-4x-x^3​ зростає і спадає?

Щоб визначити ділянки, де функція \(f(x) = 8 - 4x - x^3\) зростає і спадає, необхідно знайти похідну цієї функції та аналізувати знак похідної.

1. Спочатку знайдемо похідну функції \(f(x)\). Завдяки правилам диференціювання, ми можемо обчислити похідну використовуючи степеневе правило та константне правило.

\[f"(x) = -4 - 3x^2\]

2. Тепер дослідимо знак похідної \(f"(x)\) у різних діапазонах.

а) Щоб знайти ділянки, де функція \(f(x)\) зростає, ми шукаємо діапазони, де \(f"(x) > 0\).

Розв"яжемо нерівняння: \(-4 - 3x^2 > 0\).

Знайдемо критичні точки, де \(f"(x) = 0\): \(-4 - 3x^2 = 0\).

Застосуємо тестування інтервалів, обираючи тестові значення на кожному діапазоні (наприклад, -1, 0, і 1):

* При \(x = -1\): \(-4 - 3(-1)^2 = -4 - 3 = -7 < 0\)
* При \(x = 0\): \(-4 - 3(0)^2 = -4 < 0\)
* При \(x = 1\): \(-4 - 3(1)^2 = -4 - 3 = -7 < 0\)

Отже, на всьому діапазоні функція \(f(x)\) не зростає.

б) Щоб знайти ділянки, де функція \(f(x)\) спадає, ми шукаємо діапазони, де \(f"(x) < 0\).

Розв"яжемо нерівняння: \(-4 -3x^2 < 0\).

Знайдемо критичні точки, де \(f"(x) = 0\): \(-4 - 3x^2 = 0\).

Застосуємо тестування інтервалів, обираючи тестові значення на кожному діапазоні (наприклад, -2, -1, 0, 1, і 2):

* При \(x = -2\): \(-4 - 3(-2)^2 = -4 - 12 = -16 < 0\)
* При \(x = -1\): \(-4 - 3(-1)^2 = -4 - 3 = -7 < 0\)
* При \(x = 0\): \(-4 - 3(0)^2 = -4 < 0\)
* При \(x = 1\): \(-4 - 3(1)^2 = -4 - 3 = -7 < 0\)
* При \(x = 2\): \(-4 - 3(2)^2 = -4 - 12 = -16 < 0\)

Тож, на всьому діапазоні функція \(f(x)\) також не спадає.

3. Отже, функція \(f(x) = 8 - 4x - x^3\) не зростає і не спадає на жодному діапазоні. Тобто, вона є сталою.

Надіюся, що цей розгорнутий розв"язок допоміг вам зрозуміти, як знайти ділянки зростання та спадання функції. Якщо у вас є ще питання, будь ласка, звертайтесь!