Чему равно значение выражения, полученного путем возведения в квадрат 5-ого корня из 6 и деления

Давайте вычислим значение выражения step-by-step. Первым шагом будет нахождение 5-ого корня из 6.

\[ \sqrt[5]{6} \]

Для этого мы можем воспользоваться тем, что \( x = \sqrt[5]{6} \) эквивалентно \( x^5 = 6 \).

Теперь возведем это значение в квадрат.

\[ (\sqrt[5]{6})^2 = (\sqrt[5]{6}) \cdot (\sqrt[5]{6}) \]

Так как у нас действия с корнями, мы можем применить свойство корней: \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\).

\[ (\sqrt[5]{6}) \cdot (\sqrt[5]{6}) = \sqrt[5]{6 \cdot 6} = \sqrt[5]{36} \]

Теперь перейдем к делению:

\[ \frac{\sqrt[5]{36}}{6} \]

Мы можем записать 6 как \( \frac{6}{1} \) и применить свойство деления корней: \( \frac{a}{b} = \sqrt[n]{\frac{a^n}{b^n}} \).

\[ \frac{\sqrt[5]{36}}{6} = \sqrt[5]{\frac{36}{1^5 \cdot 6^5}} \]

Затем упростим дробь:

\[ \sqrt[5]{\frac{36}{1^5 \cdot 6^5}} = \sqrt[5]{\frac{36}{7776}} \]

Для удобства давайте представим 36 как \(6^2\) и 7776 как \(6^5\):

\[ \sqrt[5]{\frac{36}{1^5 \cdot 6^5}} = \sqrt[5]{\frac{6^2}{6^5}} \]

Теперь мы можем использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: \( a^n \div a^m = a^{n-m} \).

\[ \sqrt[5]{\frac{6^2}{6^5}} = \sqrt[5]{6^{2-5}} \]

Значение \(2-5\) равно -3:

\[ \sqrt[5]{6^{2-5}} = \sqrt[5]{6^{-3}} \]

Вспомним, что \(x^{-n}\) эквивалентно \(\frac{1}{x^n}\):

\[ \sqrt[5]{6^{-3}} = \sqrt[5]{\frac{1}{6^3}} \]

Теперь можно вычислить значение выражения:

\[ \sqrt[5]{\frac{1}{6^3}} = \frac{1}{6} \]

Таким образом, значение выражения, полученного путем возведения в квадрат 5-ого корня из 6 и деления, равно \(\frac{1}{6}\).