АВС, если радиус окружности, описанной около треугольника НСВ, равен

Хорошо, давайте решим задачу. Предположим, что в треугольнике НСВ радиус описанной окружности равен \(r\). Для начала, давайте вспомним основные свойства описанных окружностей в треугольниках.

Основное свойство гласит, что хорда, соединяющая две точки касания окружности в треугольнике, делит эту хорду пополам и перпендикулярна к соответствующей стороне треугольника. Давайте обозначим точки касания окружности с треугольником НСВ как \(M\), \(N\) и \(P\), как показано на рисунке:

\[
\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \ \ M \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ N
\\ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \
\ \ \ \ \ \
\
\ \
\
\ \ \

\ \
\

\ \
\ \ \ \
\ \ \ \ \ P \
\ \ \
\end{array}
\]

Мы знаем, что хорда \(MN\) делит на две \(NP\) и что \(MN\) перпендикулярна к стороне \(NS\) треугольника. Используя это свойство, мы можем сказать, что хорда \(NP\) является диаметром описанной окружности треугольника НСВ.

Теперь обратим внимание на треугольник \(\triangle NBP\). У этого треугольника диаметр \(NP\), и мы знаем, что угол, образованный любым треугольником на диаметре описанной окружности, всегда равен 90 градусов. Таким образом, угол \(NBP\) является прямым углом.

Из определения прямого угла следует, что любой угол, образованный двумя лучами, перпендикулярными друг другу, является прямым углом. Таким образом, угол \(NSB\) также является прямым углом.

Вернемся к основному определению. Мы знаем, что хорда, перпендикулярная к стороне треугольника, делит эту сторону на две равные части. Поскольку \(MN\) перпендикулярна к стороне \(NS\), значит, \(NS\) делится пополам точкой \(M\).

В треугольнике \(\triangle NSB\) мы имеем \(NS\) в соотношении 1:1, поскольку он делится точкой \(M\). Это означает, что отрезок \(NB\) также делится пополам точкой \(M\).

Теперь у нас есть два треугольника, \(\triangle NSB\) и \(\triangle NPB\), у которых стороны \(NB\) и \(NS\) делятся пополам точкой \(M\). Также мы знаем, что у этих треугольников совпадают углы \(NSB\) и \(NBP\), так как они являются прямыми углами.

Исходя из этих фактов, мы можем сделать вывод, что треугольники \(\triangle NSB\) и \(\triangle NPB\) являются равнобедренными треугольниками.

В равнобедренном треугольнике прилегающие к основанию стороны равны. Таким образом, мы можем сказать, что \(NS = NB\).

Поскольку радиус описанной окружности равен диаметру, то \(r = NP\).

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника НСВ, равен \(r\) и длине стороны \(NS\) и \(NB\) равны.