Каковы объем и площадь поверхности тела, возникающего при вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы для объема и площади поверхности тела вращения.

1. Рассчитаем объем поверхности тела вращения:

Объем поверхности тела вращения можно найти с помощью следующей формулы:

\[V = \pi \cdot R^2 \cdot h\]

Где \(R\) - радиус вращения, а \(h\) - высота тела вращения. В данном случае, гипотенуза треугольника будет радиусом вращения, поэтому \(R = 3 \, \text{см}\).

Чтобы найти высоту тела вращения, рассмотрим треугольник, образованный гипотенузой и отрезком, проведенным от вершины прямого угла до оси вращения. Этот отрезок является высотой треугольника.

По теореме Пифагора, катеты треугольника равны 3 см, поэтому гипотенуза (основание треугольника) равна \(\sqrt {3^2 + 3^2} = \sqrt {18} = 3\sqrt{2} \, \text{см}\).

Таким образом, высота треугольника равна \(h = 3\sqrt{2} \, \text{см}\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[V = \pi \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot 3\sqrt{2}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[V = (18\pi) \cdot (6\sqrt{2}) = 108\pi \sqrt{2} \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем поверхности тела, возникающего при вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, равен \(108\pi \sqrt{2} \, \text{см}^3\).

2. Рассчитаем площадь поверхности тела вращения:

Площадь поверхности тела вращения можно найти с помощью следующей формулы:

\[S = 2\pi \cdot R \cdot h\]

Подставляя значения, получаем:

\[S = 2\pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 18\pi \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь поверхности тела, возникающего при вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, равна \(18\pi \, \text{см}^2\).