а) Представьте на графике функцию f(x) = x^2 - 4x + 3. б) Исследуйте, проходит ли график этой функции через заданную

Конечно! Давайте пошагово решим данную задачу:

a) Чтобы представить функцию \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) на графике, мы можем использовать принципы алгебры и графики функций.

1. Начнем с нахождения вершины параболы. Вершина параболы можно найти с помощью формулы \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты при \(x\) в квадратном уравнении.

В данном случае, коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны 1, -4 и 3 соответственно. Подставим их в формулу и найдем \(x\):
\[x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = -\frac{-4}{2} = 2.\]

Теперь найдем значение функции в этой точке. Подставим \(x = 2\) в уравнение \(f(x)\):
\[f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.\]

2. Теперь, когда мы знаем вершину параболы, мы можем построить график. Вершина параболы будет являться точкой на графике. Давайте обозначим вершину как \(V(2;-1)\).

Также, поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный (1), это означает, что парабола будет направлена вверх.

c) Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать знак производной функции.

1. Найдем производную функции \(f"(x)\). Для этого возьмем производную каждого члена функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 2x - 4.\]

2. Теперь найдем значения \(x\), при которых \(f"(x)\) равно 0, чтобы определить точки экстремума функции. Подставим \(f"(x) = 0\) и решим уравнение:
\[2x - 4 = 0.\]
\[2x = 4.\]
\[x = 2.\]

3. После этого мы можем построить таблицу знаков для интервалов между значениями \(x\). Так как парабола направлена вверх и производная равна 0 в точке \(x = 2\), мы можем сделать следующие выводы:

- Если \(x < 2\), то \(f"(x) < 0\), что означает, что функция убывает на этом интервале.
- Если \(x > 2\), то \(f"(x) > 0\), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Итак, интервал убывания функции будет \((-\infty;2)\), а интервал возрастания функции будет \((2;+\infty)\).

b) Чтобы проверить, проходит ли график функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) через заданную точку A(-2; 12), подставим координаты точки в уравнение функции:
\[f(-2) = (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 3 = 4 + 8 + 3 = 15.\]

Значение функции \(f(-2)\) равно 15, в то время как заданная точка имеет координату y = 12. Таким образом, график функции \(f(x)\) не проходит через заданную точку A(-2; 12).

Вот и все! Мы пошагово решили задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.