Как найти значение угла между векторами a=3p+2q и b=p+5q, где p и q- векторы, взаимно перпендикулярные и имеющие

Как найти значение угла между векторами a=3p+2q и b=p+5q, где p и q- векторы, взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Лаки

Лаки

Для начала давайте найдем значения векторов a и b. У нас дано, что вектор a=3p+2q и вектор b=p+5q, где p и q - векторы, взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину.

Теперь найдем скалярное произведение векторов a и b. Скалярное произведение векторов a и b определяется как произведение длины одного вектора на проекцию другого вектора на него. Мы можем найти скалярное произведение с помощью следующей формулы:

ab=|a||b|cos(θ)

где |a| обозначает длину вектора a, |b| обозначает длину вектора b, а θ обозначает угол между векторами a и b.

Из условия задачи известно, что векторы p и q взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Если векторы имеют единичную длину, то их длины равны 1. Таким образом, мы можем изменить наши уравнения следующим образом:

a=3p+2q и b=p+5q.

Теперь мы можем выразить длины векторов a и b:

|a|=|3p+2q|=(32)(|p|2)+(22)(|q|2)=9+4=13

|b|=|p+5q|=|p|2+(52)(|q|2)=1+25=26

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

ab=|a||b|cos(θ)

(3p+2q)(p+5q)=(13)(26)cos(θ)

Теперь вычислим скалярное произведение:

(3p+2q)(p+5q)=3pp+3p5q+2qp+2q5q

Для взаимно перпендикулярных векторов p и q скалярное произведение равно 0, так как они ортогональны. То есть pq=qp=0.

Теперь можем записать скалярное произведение упрощенно:

(3p+2q)(p+5q)=3p5q+2qp

Так как pq=qp=0, получаем:

(3p+2q)(p+5q)=3p5q+2qp=0+0=0

Теперь можем решить уравнение относительно угла θ:

0=(13)(26)cos(θ)

Поскольку косинус угла равен 0 только при угле θ=π2 (угол 90 градусов), получаем, что угол между векторами a и b равен 90 градусам или π2 радианам.

Таким образом, мы нашли значение угла между векторами a и b - он равен 90 градусам или π2 радианам.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello