Как найти значение угла между векторами a=3p+2q и b=p+5q, где p и q- векторы, взаимно перпендикулярные и имеющие

Для начала давайте найдем значения векторов \(a\) и \(b\). У нас дано, что вектор \(a = 3p + 2q\) и вектор \(b = p + 5q\), где \(p\) и \(q\) - векторы, взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину.

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\). Скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\) определяется как произведение длины одного вектора на проекцию другого вектора на него. Мы можем найти скалярное произведение с помощью следующей формулы:

\[
a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(|a|\) обозначает длину вектора \(a\), \(|b|\) обозначает длину вектора \(b\), а \(\theta\) обозначает угол между векторами \(a\) и \(b\).

Из условия задачи известно, что векторы \(p\) и \(q\) взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Если векторы имеют единичную длину, то их длины равны 1. Таким образом, мы можем изменить наши уравнения следующим образом:

\(a = 3p + 2q\) и \(b = p + 5q\).

Теперь мы можем выразить длины векторов \(a\) и \(b\):

\(|a| = |3p + 2q| = \sqrt{(3^2)(|p|^2) + (2^2)(|q|^2)} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)

\(|b| = |p + 5q| = \sqrt{|p|^2 + (5^2)(|q|^2)} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}\)

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta)\)

\((3p + 2q) \cdot (p + 5q) = (\sqrt{13})(\sqrt{26}) \cdot \cos(\theta)\)

Теперь вычислим скалярное произведение:

\((3p + 2q) \cdot (p + 5q) = 3p \cdot p + 3p \cdot 5q + 2q \cdot p + 2q \cdot 5q\)

Для взаимно перпендикулярных векторов \(p\) и \(q\) скалярное произведение равно 0, так как они ортогональны. То есть \(p \cdot q = q \cdot p = 0\).

Теперь можем записать скалярное произведение упрощенно:

\((3p + 2q) \cdot (p + 5q) = 3p \cdot 5q + 2q \cdot p\)

Так как \(p \cdot q = q \cdot p = 0\), получаем:

\((3p + 2q) \cdot (p + 5q) = 3p \cdot 5q + 2q \cdot p = 0 + 0 = 0\)

Теперь можем решить уравнение относительно угла \(\theta\):

\(0 = (\sqrt{13})(\sqrt{26}) \cdot \cos(\theta)\)

Поскольку косинус угла равен 0 только при угле \(\theta = \frac{\pi}{2}\) (угол 90 градусов), получаем, что угол между векторами \(a\) и \(b\) равен \(90\) градусам или \(\frac{\pi}{2}\) радианам.

Таким образом, мы нашли значение угла между векторами \(a\) и \(b\) - он равен \(90\) градусам или \(\frac{\pi}{2}\) радианам.