Как найти значение угла между векторами a=3p+2q и b=p+5q, где p и q- векторы, взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину?

Лаки
Для начала давайте найдем значения векторов и . У нас дано, что вектор и вектор , где и - векторы, взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину.
Теперь найдем скалярное произведение векторов и . Скалярное произведение векторов и определяется как произведение длины одного вектора на проекцию другого вектора на него. Мы можем найти скалярное произведение с помощью следующей формулы:
где обозначает длину вектора , обозначает длину вектора , а обозначает угол между векторами и .
Из условия задачи известно, что векторы и взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Если векторы имеют единичную длину, то их длины равны 1. Таким образом, мы можем изменить наши уравнения следующим образом:
и .
Теперь мы можем выразить длины векторов и :
Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
Теперь вычислим скалярное произведение:
Для взаимно перпендикулярных векторов и скалярное произведение равно 0, так как они ортогональны. То есть .
Теперь можем записать скалярное произведение упрощенно:
Так как , получаем:
Теперь можем решить уравнение относительно угла :
Поскольку косинус угла равен 0 только при угле (угол 90 градусов), получаем, что угол между векторами и равен градусам или радианам.
Таким образом, мы нашли значение угла между векторами и - он равен градусам или радианам.
Теперь найдем скалярное произведение векторов
где
Из условия задачи известно, что векторы
Теперь мы можем выразить длины векторов
Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
Теперь вычислим скалярное произведение:
Для взаимно перпендикулярных векторов
Теперь можем записать скалярное произведение упрощенно:
Так как
Теперь можем решить уравнение относительно угла
Поскольку косинус угла равен 0 только при угле
Таким образом, мы нашли значение угла между векторами
Знаешь ответ?