a) Постройте точки Т (-2; 3), Р (7; 3), С (7; -1) для вершин прямоугольника. б) Найдите координаты точки М . в) Найдите

a) Для построения точек T"(-2; 3), P"(7; 3) и C"(7; -1) на плоскости, отметим соответствующие координаты на координатной сетке. Отложим -2 единицы по горизонтали и 3 единицы по вертикали от начала координат и пометим точку T". Затем отложим 7 единиц по горизонтали и 3 единицы по вертикали, чтобы найти точку P". Наконец, отметим точку C" с координатами (7, -1). Соединим эти три точки линиями, чтобы получить прямоугольник.

б) Чтобы найти координаты точки М", мы должны взять среднее арифметическое значений координат вершин P" и C". Координаты точки P" равны (7, 3), а координаты точки C" равны (7, -1). Чтобы найти среднее арифметическое, суммируем соответствующие значения и делим на 2. Таким образом:
$$x_M"={\displaystyle \frac{7+7}{2}}=7$$
$$y_M"={\displaystyle \frac{3+(-1)}{2}}=1$$
То есть, координаты точки М" равны (7, 1).

в) Чтобы найти координаты точки А", являющейся пересечением отрезков T"C" и P"M", мы должны найти уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки. Уравнение прямой задается в форме y = mx + b, где m - наклон прямой, а b - коэффициент сдвига по оси y.

Рассмотрим отрезок T"C". Координаты точки T" равны (-2, 3), а координаты точки C" равны (7, -1). Чтобы найти наклон прямой, используем формулу:
$$m_{T"C"}={\displaystyle \frac{y_{C"}-y_{T"}}{x_{C"}-x_{T"}}}={\displaystyle \frac{-1-3}{7-(-2)}}={\displaystyle \frac{-4}{9}}$$
Затем, чтобы найти коэффициент сдвига b, подставим координаты одной из точек в уравнение прямой. Возьмем, например, точку C":
$$-1=\left({\displaystyle \frac{-4}{9}}\right)\cdot 7+b$$
Решая это уравнение, найдем:
$$b=-1-({\displaystyle \frac{-4}{9}}\cdot 7)=-1+{\displaystyle \frac{28}{9}}={\displaystyle \frac{19}{9}}$$
То есть, уравнение прямой T"C" имеет вид:
$$y={\displaystyle \frac{-4}{9}}x+{\displaystyle \frac{19}{9}}$$

Проведем аналогичные вычисления для отрезка P"M". Координаты точки P" равны (7, 3), а координаты точки M" равны (7, 1). Используя формулу для наклона прямой и подставив координаты точки P", найдем:
$$m_{P"M"}={\displaystyle \frac{y_{M"}-y_{P"}}{x_{M"}-x_{P"}}}={\displaystyle \frac{1-3}{7-7}}={\displaystyle \frac{-2}{0}}$$
Из этого следует, что отрезок P"M" вертикален и его наклон не определен. Таким образом, уравнение прямой P"M" будет иметь вид:
$$x=7$$

Чтобы найти точку А", пересечение этих прямых, решим систему уравнений:
$$\{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{-4}{9}}x+{\displaystyle \frac{19}{9}}\\ x=7\end{array}$$
Подставим второе уравнение в первое:
$$y={\displaystyle \frac{-4}{9}}\cdot 7+{\displaystyle \frac{19}{9}}=-{\displaystyle \frac{28}{9}}+{\displaystyle \frac{19}{9}}=-{\displaystyle \frac{9}{9}}=-1$$
Таким образом, координаты точки А" равны (7, -1).