а) Найдите значения переменных a и d, если дробно-линейная функция имеет асимптоты с уравнением x = 1 и y

a) Для нахождения значений переменных a и d в дробно-линейной функции с асимптотами x = 1 и y = 2, мы можем использовать уравнение асимптоты и свойства дробно-линейной функции.

Уравнение асимптоты по x = 1 означает, что когда x стремится к 1, функция будет стремиться к бесконечности. То есть, когда x приближается к 1, знаменатель должен стремиться к нулю, а числитель не должен.

Уравнение асимптоты по y = 2 означает, что когда y стремится к 2, функция будет стремиться к бесконечности. То есть, когда y приближается к 2, числитель должен стремиться к нулю, а знаменатель не должен.

Мы можем записать дробно-линейную функцию в общем виде:

\[f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\]

где a, b, c и d - переменные, которые мы хотим найти.

Исходя из уравнений асимптот, у нас есть два условия:

Когда x приближается к 1, знаменатель должен стремиться к нулю:

\[cx + d = 0\]

Когда y приближается к 2, числитель должен стремиться к нулю:

\[a(1) + b = 0\]

Решим эти уравнения:

Для уравнения \[cx + d = 0\], когда x приближается к 1, знаменатель должен стремиться к нулю, значит:

\[c(1) + d = 0\]
\[c + d = 0\]
\[c = -d\]

Для уравнения \[a(1) + b = 0\], когда y приближается к 2, числитель должен стремиться к нулю, значит:

\[a + b = 0\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[c = -d\]
\[a + b = 0\]

Мы можем найти значения переменных a и d, подставив c = -d во второе уравнение:

\[a + (-a) = 0\]
\[0 = 0\]

Итак, значения переменных a и d могут быть любыми, при условии, что они удовлетворяют уравнениям.

b) i) Для приведения функции f(x) = ax + \frac{4}{x} - d к виду y = k/x - m + n, мы можем использовать найденные значения переменных a и d из предыдущего вопроса.

Итак, мы знаем, что\[a + b = 0\]и\[c = -d\]или, по-другому,\[a = -b\]и\[c = -d\]

Подставим найденные значения a и d в исходную функцию:

\[f(x) = ax + \frac{4}{x} - d\]
\[f(x) = -bx + \frac{4}{x} + d\]

Разделим исходную функцию на x:

\[f(x) = \frac{-bx^2 + 4 + dx}{x}\]

Теперь мы можем переписать функцию в виде:

\[f(x) = \frac{-(bx^2 + dx - 4)}{x}\]

Давайте обозначим \(k = -(bx^2 + dx - 4)\), \(m = 0\), и \(n = 0\), получим:

\[f(x) = \frac{k}{x} - m + n\]

\[f(x) = \frac{k}{x} - 0 + 0\]

\[f(x) = \frac{k}{x}\]

ii) Чтобы найти точки пересечения функции с осями координат, нам нужно найти значения x и y, когда функция равна нулю.

Когда функция равна нулю, \(f(x) = 0\) и \(\frac{k}{x} = 0\).

\(f(x) = \frac{k}{x} - m + n = 0\)

\(\frac{k}{x} = 0\) , \(k = 0\) :

\(\frac{0}{x} = 0\) , \(x\) может принимать любое значение, так как при делении нуля на число результат всегда будет нулем.

То есть функция пересекает ось x во всех точках (x, 0), где x может быть любым числом, кроме нуля.

iii) Чтобы построить график функции f(x) = \frac{k}{x}, мы должны заметить, что у нас есть асимптоты x = 1 и y = 2.

График функции будет стремиться к асимптотам при удалении от них в направлении бесконечности.

Мы знаем, что функция пересекает ось x во всех точках (x, 0), кроме x = 0.

Построим график, используя эти сведения:

(График функции будет представлен в виде диаграммы)