а) Найдите значение переменной х в уравнении tg(2π+х)cos(π/2+2х)=cos π. б) Определите корни данного уравнения

Хорошо, давайте решим данную задачу.

а) Найдем значение переменной \(x\) в уравнении \(\text{tg}(2\pi + x)\cos(\frac{\pi}{2} + 2x) = \cos(\pi)\).

Для начала рассмотрим правую часть уравнения \(\cos(\pi)\). Мы знаем, что значение \(\cos(\pi)\) равно -1.

Теперь займемся левой частью уравнения. Разберем ее поочередно.

Вспомним основное тригонометрическое тождество: \(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\).

Применяем данное тождество к выражению \(\cos(\frac{\pi}{2} + 2x)\):
\[\cos(\frac{\pi}{2} + 2x) = \cos(\frac{\pi}{2})\cos(2x) - \sin(\frac{\pi}{2})\sin(2x) = 0\cos(2x) - 1\sin(2x) = -\sin(2x).\]

Теперь заменим \(\cos(\frac{\pi}{2} + 2x)\) на \(-\sin(2x)\) в исходном уравнении:
\(\text{tg}(2\pi + x)\cdot(-\sin(2x)) = -1\).

Поскольку \(\text{tg}(2\pi + x)\) - это тангенс суммы двух углов, воспользуемся соответствующим тригонометрическим тождеством. Представим \(\text{tg}(2\pi + x)\) как \(\frac{\sin(2\pi + x)}{\cos(2\pi + x)}\).

Таким образом, наше уравнение примет вид:
\(\frac{\sin(2\pi + x)}{\cos(2\pi + x)}\cdot(-\sin(2x)) = -1\).

Теперь упростим выражение в левой части уравнения. Распишем \(\sin(2\pi + x)\) и \(\cos(2\pi + x)\), используя основные тригонометрические тождества:
\[\frac{\sin(2\pi)\cos(x) + \cos(2\pi)\sin(x)}{\cos(2\pi)\cos(x) - \sin(2\pi)\sin(x)}\cdot(-\sin(2x)) = -1.\]

Так как \(\sin(2\pi) = 0\) и \(\cos(2\pi) = 1\), получим следующее:
\[\frac{0\cdot\cos(x) + 1\cdot\sin(x)}{1\cdot\cos(x) - 0\cdot\sin(x)}\cdot(-\sin(2x)) = -1.\]

Упростим дальше:
\[\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot(-\sin(2x)) = -1.\]

Помним, что \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \text{tg}(x)\):
\[\text{tg}(x)\cdot(-\sin(2x)) = -1.\]

Теперь можем выразить \(\sin(2x)\):
\[\sin(2x) = \frac{-1}{\text{tg}(x)}.\]

Итак, получили уравнение \(\sin(2x) = \frac{-1}{\text{tg}(x)}\).

Теперь перейдем ко второй части задачи.

б) Нам нужно определить корни данного уравнения на отрезке \([3\pi ; \frac{9\pi}{2}]\).

Для начала, заметим, что \(\text{tg}(x)\) неопределен в точках, когда \(\cos(x) = 0\), то есть в точках \(\frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\) - любое целое число.

Также помним, что \(\sin(2x)\) равен 0, когда \(2x = \pi n\), где \(n\) - любое целое число.

Теперь мы можем составить таблицу значений для \(\sin(2x)\) и \(\frac{-1}{\text{tg}(x)}\) на отрезке \([3\pi ; \frac{9\pi}{2}]\):

\[
\begin{align*}
x & \sin(2x) & \frac{-1}{\text{tg}(x)} \\
3\pi & 0 & \text{неопределено} \\
\frac{7\pi}{2} & 0 & 0 \\
4\pi & 0 & \text{неопределено} \\
\frac{9\pi}{2} & 0 & 0 \\
\end{align*}
\]

Итак, значения \(\sin(2x)\) и \(\frac{-1}{\text{tg}(x)}\) совпадают в точках \(x = \frac{7\pi}{2}\) и \(x = \frac{9\pi}{2}\).

Таким образом, корни уравнения \(\sin(2x) = \frac{-1}{\text{tg}(x)}\) на отрезке \([3\pi ; \frac{9\pi}{2}]\) равны \(x = \frac{7\pi}{2}\) и \(x = \frac{9\pi}{2}\).