а) Каков периметр прямоугольника ABCD, если его диагональ BD равна 13 дм, а периметр треугольника равен 30 дм? б) Если

а) Давайте решим задачу по порядку. Начнем с периметра треугольника ABC. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Обозначим стороны треугольника через \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда у нас есть уравнение:
\[a + b + c = 30 \quad (1)\]

Также нам дано, что диагональ BD прямоугольника ABCD равна 13 дм. Заметим, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника. Поэтому мы можем написать следующее уравнение, используя теорему Пифагора:
\[a^2 + b^2 = 13^2 \quad (2)\]

Мы получили систему уравнений (1) и (2), которую мы можем решить для нахождения значений сторон треугольника ABC. Решение этой системы дает нам значения сторон:

\[a = 5 \: \text{дм}, \quad b = 12 \: \text{дм}, \quad c = 13 \: \text{дм}\]

Теперь, чтобы найти периметр прямоугольника ABCD, нам нужно сложить длины его сторон:

\[\text{периметр} = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34 \: \text{дм}\]

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен 34 дм.

б) В этой задаче также можно использовать систему уравнений для нахождения значений сторон прямоугольника. Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см, тогда другая сторона будет равна \(3x\) см. Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон:

\[2(x + 3x) = 48 \quad \Leftrightarrow \quad 8x = 48 \quad \Leftrightarrow \quad x = 6\]

Таким образом, одна сторона прямоугольника равна 6 см, а другая сторона равна 3 \times 6 = 18 см. Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 18 см.