Каков радиус цилиндра, если он вписан в конус с образующей длиной 17 см, прямая, проведенная через центр верхнего

Дано:
- Образующая конуса: \(l = 17\) см
- Угол между образующей и высотой конуса: \(45^\circ\)
- Угол между прямой, проведенной через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, и основанием конуса: \(30^\circ\)

Нам нужно найти радиус цилиндра, исходя из данной информации.

Для решения задачи нам понадобится использовать свойства подобных треугольников и свойства вписанного угла.

Обозначим радиус цилиндра как \(r\) см.

Первым шагом найдем высоту конуса, используя теорему Пифагора. В единичных обозначениях это будет:

\[h^2 = l^2 - r^2\]

Зная, что угол между образующей и высотой равен \(45^\circ\), мы можем строить прямоугольный треугольник, где сторона \(l\) - гипотенуза, сторона \(r\) - катет, а сторона \(h\) - другой катет. Тогда по теореме Пифагора:

\[h^2 = l^2 - r^2\]
\[h^2 = 17^2 - r^2\]
\[h = \sqrt{17^2 - r^2}\]

Теперь мы можем использовать свойство вписанного угла. Угол между прямой, проведенной через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, и основанием конуса равен \(30^\circ\). Угол вписанного треугольника в окружность равен удвоенному углу, образованному дугой окружности, опирающейся на данный угол. Поэтому центральный угол, опирающийся на данную дугу, равен \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник, образованный осью цилиндра, разделяющей его на две симметричные части, и образующей конуса. В этом прямоугольном треугольнике у нас есть гипотенуза \(l\), которая равна 17 см, и катеты \(r\) и \(h\).

Мы знаем, что угол между прямой и основанием конуса равен \(30^\circ\). Используя свойства тригонометрии, мы можем выразить \(r\) через \(h\):

\[\tan 30^\circ = \frac{r}{h}\]
\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{h}\]
\[r = \frac{h}{\sqrt{3}}\]

Теперь мы можем подставить выражение для \(h\) в это уравнение:

\[r = \frac{\sqrt{17^2 - r^2}}{\sqrt{3}}\]

Для того чтобы решить это уравнение, сначала уберём знаменатель:

\[\sqrt{3} \cdot r = \sqrt{17^2 - r^2}\]

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

\[3r^2 = 17^2 - r^2\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[4r^2 = 17^2\]

Теперь выразим \(r^2\):

\[r^2 = \frac{17^2}{4}\]

Вычисляем:

\[r^2 = \frac{289}{4}\]
\[r^2 = 72,25\]

Наконец, берем квадратный корень из обеих частей:

\[r = \sqrt{72,25}\]
\[r = 8,5\]

Таким образом, радиус цилиндра, вписанного в данный конус, составляет 8,5 см (с точностью до сотых).