5. Монету бросали 8 раз. а) Сколько различных комбинаций можно получить, состоящих из «орлов» и «решек»? в) Какова

Давайте решим задачу поочередно:

а) Сначала выясним, сколько всего возможных комбинаций можно получить при 8 бросках монеты. У нас есть два варианта для каждого из восьми бросков: «орел» или «решка». Таким образом, общее количество комбинаций будет равно $2^8=256$.

Теперь выясним, сколько из этих комбинаций содержат всего одну или две разные стороны монеты (например, 4 орла и 4 решки). Мы можем использовать биномиальные коэффициенты, чтобы вычислить количество таких комбинаций. Формула для вычисления биномиального коэффициента $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ выглядит следующим образом:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где $n$ - количество бросков монеты, а $k$ - количество орлов (или решек).

Давайте рассмотрим все возможные случаи:

- 0 орлов и 8 решек: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0})=1$ комбинация
- 1 орел и 7 решек: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1})=8$ комбинаций
- 2 орла и 6 решек: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})=28$ комбинаций
- 3 орла и 5 решек: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})=56$ комбинаций
- 4 орла и 4 решки: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4})=70$ комбинаций
- 5 орлов и 3 решки: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5})=56$ комбинаций
- 6 орлов и 2 решки: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6})=28$ комбинаций
- 7 орлов и 1 решка: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{7})=8$ комбинаций
- 8 орлов и 0 решек: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8})=1$ комбинация

Суммируя все эти комбинации, мы получим общее количество комбинаций, содержащих одну или две разные стороны монеты: $1+8+28+56+70+56+28+8+1=256$.

Таким образом, всего существует 256 различных комбинаций, состоящих из «орлов» и «решек» при 8 бросках монеты.

б) Теперь вычислим вероятность получения комбинации из 3 «орлов» и 5 «решек» при 8 бросках монеты. Количество таких комбинаций мы уже посчитали — 56.

Формула для вычисления вероятности выглядит следующим образом:

$$\text{Вероятность}=\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}$$

В нашем случае, количество благоприятных исходов — это 56, а общее количество исходов — это 256.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$$\text{Вероятность}=\frac{56}{256}$$

Чтобы упростить эту дробь, можно сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. В данном случае, НОД(56, 256) = 8.

$$\text{Вероятность}=\frac{7}{32}$$