5. Монету бросали 8 раз. а) Сколько различных комбинаций можно получить, состоящих из «орлов» и «решек»? в) Какова

Давайте решим задачу поочередно:

а) Сначала выясним, сколько всего возможных комбинаций можно получить при 8 бросках монеты. У нас есть два варианта для каждого из восьми бросков: «орел» или «решка». Таким образом, общее количество комбинаций будет равно \(2^8 = 256\).

Теперь выясним, сколько из этих комбинаций содержат всего одну или две разные стороны монеты (например, 4 орла и 4 решки). Мы можем использовать биномиальные коэффициенты, чтобы вычислить количество таких комбинаций. Формула для вычисления биномиального коэффициента \(\binom{n}{k}\) выглядит следующим образом:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n\) - количество бросков монеты, а \(k\) - количество орлов (или решек).

Давайте рассмотрим все возможные случаи:

- 0 орлов и 8 решек: \(\binom{8}{0} = 1\) комбинация
- 1 орел и 7 решек: \(\binom{8}{1} = 8\) комбинаций
- 2 орла и 6 решек: \(\binom{8}{2} = 28\) комбинаций
- 3 орла и 5 решек: \(\binom{8}{3} = 56\) комбинаций
- 4 орла и 4 решки: \(\binom{8}{4} = 70\) комбинаций
- 5 орлов и 3 решки: \(\binom{8}{5} = 56\) комбинаций
- 6 орлов и 2 решки: \(\binom{8}{6} = 28\) комбинаций
- 7 орлов и 1 решка: \(\binom{8}{7} = 8\) комбинаций
- 8 орлов и 0 решек: \(\binom{8}{8} = 1\) комбинация

Суммируя все эти комбинации, мы получим общее количество комбинаций, содержащих одну или две разные стороны монеты: \(1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256\).

Таким образом, всего существует 256 различных комбинаций, состоящих из «орлов» и «решек» при 8 бросках монеты.

б) Теперь вычислим вероятность получения комбинации из 3 «орлов» и 5 «решек» при 8 бросках монеты. Количество таких комбинаций мы уже посчитали — 56.

Формула для вычисления вероятности выглядит следующим образом:

\[\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}\]

В нашем случае, количество благоприятных исходов — это 56, а общее количество исходов — это 256.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[\text{Вероятность} = \frac{56}{256}\]

Чтобы упростить эту дробь, можно сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. В данном случае, НОД(56, 256) = 8.

\[\text{Вероятность} = \frac{7}{32}\]