5.111. Simplify the expression: 1) 1000x⁹ + 100x⁶y² + 10/3 x³y⁴ + 1/27y⁶ ; 2) 8x⁵ + 36x⁴ + 54x³ + 27x² ; 3) 125x⁴y

Решение:

1) Для упрощения данного выражения, мы можем объединить все слагаемые, имеющие общие степени переменных.

1000x⁹ + 100x⁶y² + 10/3x³y⁴ + 1/27y⁶

В данном случае, все слагаемые имеют различные степени переменных, поэтому мы не можем их объединить.

2) Для упрощения данного выражения, мы также можем объединить все слагаемые, имеющие общие степени переменных.

8x⁵ + 36x⁴ + 54x³ + 27x²

Все слагаемые в данном выражении содержат переменную x в различных степенях. Чтобы упростить его, мы можем вынести наименьшую общую степень переменной x, которая в данном случае равна x².

x²(8x³ + 36x² + 54x + 27)

Таким образом, выражение упрощается до x²(8x³ + 36x² + 54x + 27).

3) Для упрощения данного выражения, мы можем сначала выделить наименьшую общую степень переменной x, а затем наименьшую общую степень переменной y.

125x⁴y - 225x³y² + 135x²y³ - 27xy⁴

Наименьшая общая степень переменной x равна x², а наименьшая общая степень переменной y равна y.

xy(125x² - 225xy + 135xy² - 27y³)

Таким образом, выражение упрощается до xy(125x² - 225xy + 135xy² - 27y³).

4) Для упрощения данного выражения, мы также можем вынести наименьшую общую степень переменной a, а затем переменной b.

27a³b - 27a³b² + 9a³b³ - a³b⁴

Наименьшая общая степень переменной a равна a³, а наименьшая общая степень переменной b равна b.

a³(27b - 27b² + 9ab² - b³)

Таким образом, выражение упрощается до a³(27b - 27b² + 9ab² - b³).

Мы рассмотрели каждое выражение по отдельности, объяснили необходимые шаги упрощения и дали окончательное упрощенное выражение для каждой задачи.