3. Решите неравенство, используя график квадратичной функции: а) определите, когда 3x² + 2x - 1 > 0; б) найдите, когда

Решение:

а) Для начала решим неравенство \(3x^2 + 2x - 1 > 0\) с помощью графика квадратичной функции.

1. Сначала найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 + 2x - 1 = 0\). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -1\).

\[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16.\]

2. Так как \(D > 0\), то уравнение имеет два корня, которые можно найти используя формулу: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\[x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}.\]

Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = -1\).

3. Далее построим график функции \(y = 3x^2 + 2x - 1\). Мы знаем, что у квадратичной функции с положительным коэффициентом при \(x^2\) график представляет собой параболу, которая в данном случае направлена вверх.

4. Теперь определим знак функции в интервалах между корнями и за пределами корней. Мы выяснили, что корни это \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = -1\).

5. Подставим тестовую точку из каждого интервала в исходное неравенство \(3x^2 + 2x - 1 > 0\) и определим знак функции:

- При \(x = 0\) получаем \(-1 > 0\), что неверно. Значит, интервал \((-\infty, -1)\) не подходит.
- При \(x = -\frac{1}{2}\) получаем \(\frac{13}{4} > 0\), что верно. Значит, интервал \((-1, \frac{1}{3})\) подходит.
- При \(x = 1\) получаем \(4 > 0\), что верно. Значит, интервал \((\frac{1}{3}, +\infty)\) подходит.

Итак, решение неравенства \(3x^2 + 2x - 1 > 0\) выглядит следующим образом: \(x \in (-1, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)\).

б) Теперь рассмотрим неравенство \(x^2 - 4 < 0\).

1. Факторизуем левую часть неравенства: \(x^2 - 4 < 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) < 0\).

2. Найдем корни уравнения \(x^2 - 4 = 0\), которые равны \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 2\).

3. Построим знаки в интервалах между корнями и за пределами корней:
- \((-2, 2)\) - выбираем тестовую точку \(x = 0\), получаем \(-4 < 0\), что верно.

Итак, решение неравенства \(x^2 - 4 < 0\) это \(x \in (-2, 2)\).

в) Наконец, неравенство \(x^2 + 4 > 0\) имеет решение для любых реальных чисел \(x\), так как \(x^2 + 4\) всегда будет положительным (сумма квадрата числа и положительного числа).

Таким образом, решения задачи:
а) \(x \in (-1, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)\);
б) \(x \in (-2, 2)\);
в) Для любых \(x \in \mathbb{R}\).