1) What is the simplified value of (7/15 - 2/21) divided by 13/84?
2) Solve the equation 2x^2 + 13 - 13x = x + 1.
3) In a theater club, students from grades 6, 7, and 8 have enrolled, totaling 26 people. Among those who enrolled, 11 are from grade 6, and the ratio of the number of grade 7 students to the number of grade 6 students is 3:2. How many grade 7 students enrolled?
9) Evaluate (49a^2 - 1/25b^2) divided by (7a - 1/5b) when a = 7/2 and b = 1/10. Solve what you can. Mathematics says it is difficult.
2) Solve the equation 2x^2 + 13 - 13x = x + 1.
3) In a theater club, students from grades 6, 7, and 8 have enrolled, totaling 26 people. Among those who enrolled, 11 are from grade 6, and the ratio of the number of grade 7 students to the number of grade 6 students is 3:2. How many grade 7 students enrolled?
9) Evaluate (49a^2 - 1/25b^2) divided by (7a - 1/5b) when a = 7/2 and b = 1/10. Solve what you can. Mathematics says it is difficult.
Соня
Конечно, я с удовольствием помогу вам с решением задачи!
1) Найдем упрощенное значение выражения \(\frac{{7/15 - 2/21}}{{13/84}}\).
Сначала найдем разность дробей \(\frac{7}{15} - \frac{2}{21}\). Для этого нужно привести обе дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 21, которое равно 105. Первую дробь домножим на \(\frac{7}{7}\), а вторую — на \(\frac{5}{5}\), чтобы получить соответствующие числители для общего знаменателя 105. После этого можно вычесть полученные числители.
\(\frac{7}{15} - \frac{2}{21} = \frac{49}{105} - \frac{10}{105} = \frac{39}{105}\).
Теперь разделим это значение на \(\frac{13}{84}\). Деление дробей эквивалентно умножению первой дроби на обратную второй. То есть, мы умножаем \(\frac{39}{105}\) на \(\frac{84}{13}\).
\(\frac{39}{105} \cdot \frac{84}{13} = \frac{39 \cdot 84}{105 \cdot 13} = \frac{3276}{1365}\).
Упростим дробь, деля числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
\(\frac{3276}{1365} = \frac{12 \cdot 273}{5 \cdot 273} = \frac{12}{5}\).
Таким образом, упрощенное значение выражения составляет \(\frac{12}{5}\).
2) Давайте решим уравнение \(2x^2 + 13 - 13x = x + 1\).
Сначала выведем все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы уравнение приняло вид \(2x^2 - 14x + 12 = 0\).
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни уравнения. Дискриминант \(D\) определяется как \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
В нашем случае \(a = 2\), \(b = -14\) и \(c = 12\).
Подставим значения в формулу и найдем дискриминант:
\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 196 - 96 = 100.\]
Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у нас есть два различных корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит следующим образом:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Подставим наши значения в формулу:
\[x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \frac{14 \pm 10}{4}.\]
Теперь решим два уравнения:
\[x_1 = \frac{14 + 10}{4} = \frac{24}{4} = 6,\]
\[x_2 = \frac{14 - 10}{4} = \frac{4}{4} = 1.\]
Таким образом, у нас есть два корня уравнения: \(x_1 = 6\) и \(x_2 = 1\).
3) Давайте найдем, сколько учеников средней школы 7-го класса записалось в театральный кружок.
Из условия известно, что всего записалось 26 человек, и из них 11 человек — ученики 6-го класса.
Пусть количество учеников 7-го класса будет \(x\). Тогда, согласно условию, отношение числа учеников 7-го класса к числу учеников 6-го класса составляет 3:2.
Мы можем использовать пропорцию и решить задачу:
\(\frac{x}{11} = \frac{3}{2}\).
При помощи кросс-умножения получаем:
\(2x = 11 \cdot 3\).
\(2x = 33\).
Разделим обе стороны на 2:
\(x = 16.5\).
Так как число учеников должно быть целым, то получается, что в театральный кружок записалось 16 учеников 7-го класса.
9) Давайте вычислим выражение \(\frac{{49a^2 - \frac{1}{25}b^2}}{{7a - \frac{1}{5}b}}\) при \(a = \frac{7}{2}\) и \(b = \frac{1}{10}\).
Подставим значения \(a\) и \(b\) в выражение:
\(\frac{{49 \left( \frac{7}{2} \right)^2 - \frac{1}{25} \left( \frac{1}{10} \right)^2}}{{7 \left( \frac{7}{2} \right) - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{10} \right)}}.\)
Приведем числители и знаменатель к одной дроби:
\(\frac{{49 \left( \frac{49}{4} \right) - \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{100}}}{{7 \cdot \frac{7}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10}}}.\)
Посчитаем числитель:
\(49 \cdot \frac{49}{4} - \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{100} = \frac{49^2}{4} - \frac{1}{2500}.\)
Затем вычислим знаменатель:
\(7 \cdot \frac{7}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{49}{2} - \frac{1}{50}.\)
Теперь выполняем деление числителя на знаменатель:
\(\frac{\frac{49^2}{4} - \frac{1}{2500}}{\frac{49}{2} - \frac{1}{50}}.\)
Приведем обе дроби к общему знаменателю:
\(\frac{\frac{49^2}{4} - \frac{1}{2500}}{\frac{49}{2} - \frac{1}{50}} \cdot \frac{2500}{2500}.\)
Выполним вычисления числителя:
\(\frac{2500 \cdot \frac{49^2}{4} - \frac{2500}{2500} \cdot \frac{1}{2500}}{\frac{49}{2} - \frac{1}{50}}.\)
\(2500 \cdot \frac{49^2}{4} - \frac{2500}{2500} \cdot \frac{1}{2500} = \frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500}.\)
Теперь получаем вид:
\(\frac{\frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500}}{\frac{49}{2} - \frac{1}{50}}.\)
Используем формулу для вычитания дробей с общим знаменателем:
\(\frac{\frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500}}{\frac{49 \cdot 50}{2 \cdot 50} - \frac{1}{50}}.\)
Упростим выражение в знаменателе и числителе:
\(\frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500} \cdot \frac{2 \cdot 50}{49 \cdot 50 - 1}.\)
Подставим значения и продолжим вычисления:
\(\frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500} \cdot \frac{2 \cdot 50}{49 \cdot 50 - 1} = \frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500} \cdot \frac{100}{2450 - 1}.\)
Можем сократить числители и знаменатели:
\(\frac{49^2 - \frac{1}{2500}}{4} \cdot \frac{100}{2449}.\)
Известно, что \(a^2 - \frac{1}{b^2} = \left( a - \frac{1}{b} \right) \left( a + \frac{1}{b} \right)\). Применим эту формулу:
\(= \frac{\left( 49 - \frac{1}{50^2} \right) \left( 49 + \frac{1}{50^2} \right)}{4} \cdot \frac{100}{2449}.\)
Выполним вычисления:
\(= \frac{\left( 49 - \frac{1}{50^2} \right) \left( 49 + \frac{1}{50^2} \right)}{4} \cdot \frac{100}{2449} = \frac{48 \cdot 50^2}{4} \cdot \frac{100}{2449}.\)
Теперь сократим числители на 4:
\(= \frac{48 \cdot 50^2}{2449} \cdot \frac{100}{1} = \frac{48 \cdot 50^2 \cdot 100}{2449}.\)
Используем косвенное умножение:
\(\frac{48 \cdot 50^2 \cdot 100}{2449} = \frac{48 \cdot 100 \cdot 2500}{2449}.\)
Умножим числители:
\(= \frac{120000 \cdot 2500}{2449}.\)
Теперь вычислим значение:
\(= \frac{300000000}{2449} \approx 122398,98.\)
Таким образом, оценка данного выражения при \(a = \frac{7}{2}\) и \(b = \frac{1}{10}\) составляет около 122398,98.
1) Найдем упрощенное значение выражения \(\frac{{7/15 - 2/21}}{{13/84}}\).
Сначала найдем разность дробей \(\frac{7}{15} - \frac{2}{21}\). Для этого нужно привести обе дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 21, которое равно 105. Первую дробь домножим на \(\frac{7}{7}\), а вторую — на \(\frac{5}{5}\), чтобы получить соответствующие числители для общего знаменателя 105. После этого можно вычесть полученные числители.
\(\frac{7}{15} - \frac{2}{21} = \frac{49}{105} - \frac{10}{105} = \frac{39}{105}\).
Теперь разделим это значение на \(\frac{13}{84}\). Деление дробей эквивалентно умножению первой дроби на обратную второй. То есть, мы умножаем \(\frac{39}{105}\) на \(\frac{84}{13}\).
\(\frac{39}{105} \cdot \frac{84}{13} = \frac{39 \cdot 84}{105 \cdot 13} = \frac{3276}{1365}\).
Упростим дробь, деля числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
\(\frac{3276}{1365} = \frac{12 \cdot 273}{5 \cdot 273} = \frac{12}{5}\).
Таким образом, упрощенное значение выражения составляет \(\frac{12}{5}\).
2) Давайте решим уравнение \(2x^2 + 13 - 13x = x + 1\).
Сначала выведем все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы уравнение приняло вид \(2x^2 - 14x + 12 = 0\).
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни уравнения. Дискриминант \(D\) определяется как \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
В нашем случае \(a = 2\), \(b = -14\) и \(c = 12\).
Подставим значения в формулу и найдем дискриминант:
\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 196 - 96 = 100.\]
Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у нас есть два различных корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит следующим образом:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Подставим наши значения в формулу:
\[x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \frac{14 \pm 10}{4}.\]
Теперь решим два уравнения:
\[x_1 = \frac{14 + 10}{4} = \frac{24}{4} = 6,\]
\[x_2 = \frac{14 - 10}{4} = \frac{4}{4} = 1.\]
Таким образом, у нас есть два корня уравнения: \(x_1 = 6\) и \(x_2 = 1\).
3) Давайте найдем, сколько учеников средней школы 7-го класса записалось в театральный кружок.
Из условия известно, что всего записалось 26 человек, и из них 11 человек — ученики 6-го класса.
Пусть количество учеников 7-го класса будет \(x\). Тогда, согласно условию, отношение числа учеников 7-го класса к числу учеников 6-го класса составляет 3:2.
Мы можем использовать пропорцию и решить задачу:
\(\frac{x}{11} = \frac{3}{2}\).
При помощи кросс-умножения получаем:
\(2x = 11 \cdot 3\).
\(2x = 33\).
Разделим обе стороны на 2:
\(x = 16.5\).
Так как число учеников должно быть целым, то получается, что в театральный кружок записалось 16 учеников 7-го класса.
9) Давайте вычислим выражение \(\frac{{49a^2 - \frac{1}{25}b^2}}{{7a - \frac{1}{5}b}}\) при \(a = \frac{7}{2}\) и \(b = \frac{1}{10}\).
Подставим значения \(a\) и \(b\) в выражение:
\(\frac{{49 \left( \frac{7}{2} \right)^2 - \frac{1}{25} \left( \frac{1}{10} \right)^2}}{{7 \left( \frac{7}{2} \right) - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{10} \right)}}.\)
Приведем числители и знаменатель к одной дроби:
\(\frac{{49 \left( \frac{49}{4} \right) - \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{100}}}{{7 \cdot \frac{7}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10}}}.\)
Посчитаем числитель:
\(49 \cdot \frac{49}{4} - \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{100} = \frac{49^2}{4} - \frac{1}{2500}.\)
Затем вычислим знаменатель:
\(7 \cdot \frac{7}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{49}{2} - \frac{1}{50}.\)
Теперь выполняем деление числителя на знаменатель:
\(\frac{\frac{49^2}{4} - \frac{1}{2500}}{\frac{49}{2} - \frac{1}{50}}.\)
Приведем обе дроби к общему знаменателю:
\(\frac{\frac{49^2}{4} - \frac{1}{2500}}{\frac{49}{2} - \frac{1}{50}} \cdot \frac{2500}{2500}.\)
Выполним вычисления числителя:
\(\frac{2500 \cdot \frac{49^2}{4} - \frac{2500}{2500} \cdot \frac{1}{2500}}{\frac{49}{2} - \frac{1}{50}}.\)
\(2500 \cdot \frac{49^2}{4} - \frac{2500}{2500} \cdot \frac{1}{2500} = \frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500}.\)
Теперь получаем вид:
\(\frac{\frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500}}{\frac{49}{2} - \frac{1}{50}}.\)
Используем формулу для вычитания дробей с общим знаменателем:
\(\frac{\frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500}}{\frac{49 \cdot 50}{2 \cdot 50} - \frac{1}{50}}.\)
Упростим выражение в знаменателе и числителе:
\(\frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500} \cdot \frac{2 \cdot 50}{49 \cdot 50 - 1}.\)
Подставим значения и продолжим вычисления:
\(\frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500} \cdot \frac{2 \cdot 50}{49 \cdot 50 - 1} = \frac{2500 \cdot 49^2 - 1}{4 \cdot 2500} \cdot \frac{100}{2450 - 1}.\)
Можем сократить числители и знаменатели:
\(\frac{49^2 - \frac{1}{2500}}{4} \cdot \frac{100}{2449}.\)
Известно, что \(a^2 - \frac{1}{b^2} = \left( a - \frac{1}{b} \right) \left( a + \frac{1}{b} \right)\). Применим эту формулу:
\(= \frac{\left( 49 - \frac{1}{50^2} \right) \left( 49 + \frac{1}{50^2} \right)}{4} \cdot \frac{100}{2449}.\)
Выполним вычисления:
\(= \frac{\left( 49 - \frac{1}{50^2} \right) \left( 49 + \frac{1}{50^2} \right)}{4} \cdot \frac{100}{2449} = \frac{48 \cdot 50^2}{4} \cdot \frac{100}{2449}.\)
Теперь сократим числители на 4:
\(= \frac{48 \cdot 50^2}{2449} \cdot \frac{100}{1} = \frac{48 \cdot 50^2 \cdot 100}{2449}.\)
Используем косвенное умножение:
\(\frac{48 \cdot 50^2 \cdot 100}{2449} = \frac{48 \cdot 100 \cdot 2500}{2449}.\)
Умножим числители:
\(= \frac{120000 \cdot 2500}{2449}.\)
Теперь вычислим значение:
\(= \frac{300000000}{2449} \approx 122398,98.\)
Таким образом, оценка данного выражения при \(a = \frac{7}{2}\) и \(b = \frac{1}{10}\) составляет около 122398,98.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
