1. Найдите значения функции f(x)=x^(2/5) - 6x для x = 5 и x = -1, а также найдите корни функции. 2. Найдите область

1. Для заданной функции \(f(x) = x^{\frac{2}{5}} - 6x\) нас просят найти значения при \(x = 5\) и \(x = -1\), а также найти корни функции.

Для начала, найдем значение функции при \(x = 5\):
\[f(5) = 5^{\frac{2}{5}} - 6 \cdot 5\]
Вычисляем значение под корнем: \(5^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{5^2} = \sqrt[5]{25} = 2\).
Теперь вычислим значение функции:
\[f(5) = 2 - 6 \cdot 5 = 2 - 30 = -28\]

Теперь найдем значение функции при \(x = -1\):
\[f(-1) = (-1)^{\frac{2}{5}} - 6 \cdot -1\]
Извлекаем корень: \((-1)^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{(-1)^2} = \sqrt[5]{1} = 1\).
Теперь вычислим значение функции:
\[f(-1) = 1 - (-6) = 1 + 6 = 7\]

Чтобы найти корни функции, приравняем ее к нулю:
\[x^{\frac{2}{5}} - 6x = 0\]
Переносим всё влево:
\[x^{\frac{2}{5}} - 6x = 0 \Rightarrow x^{\frac{2}{5}} = 6x\]

Теперь возводим обе части уравнения в степень 5:
\[\left(x^{\frac{2}{5}}\right)^5 = (6x)^5 \Rightarrow x^2 = 7776x^5\]

Далее, выражаем уравнение в стандартной форме:
\[x^5 - 7776x^2 = 0\]

Таким образом, мы получили уравнение, корни которого равны корням заданной функции.

2. Для функции \(f(x) = \frac{x + 6}{x^2 - 3x - 4}\) нас просят найти область определения.

Область определения функции - это значения \(x\), при которых функция определена, то есть, значения, при которых знаменатель не равен нулю. То есть, мы должны исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю.

Вычислим корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}\]
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}\]
\[x = \frac{3 \pm 5}{2}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\).

Значит, область определения функции - это все значения \(x\), кроме \(x = 4\) и \(x = -1\).

3. Нам предлагается построить график функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) и определить область значений функции, интервал возрастания функции и множество решений неравенства \(f(x) > 0\).

Чтобы построить график, мы можем использовать вершину параболы (точку, где функция достигает своего максимума или минимума) и направление открытости параболы (зависит от коэффициента при \(x^2\)).

Находим вершину параболы:
\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4\]
Подставляем \(x = 4\) в функцию, чтобы найти значение \(f(x)\) в этой точке:
\[f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9\]

Теперь, используя вершину параболы, можем определить область значений функции. В данном случае, так как коэффициент при \(x^2\) положительный (\(1\)), парабола будет повернута вверх, и значит, функция будет принимать значения больше или равные -9.

Для определения интервала возрастания функции, найдем корни уравнения:
\[x^2 - 8x + 7 = 0\]
\[x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}\]
\[x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}\]
\[x = \frac{8 \pm 6}{2}\]
\[x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7\]
\[x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1\]

Таким образом, интервал возрастания функции - это \(1 < x < 7\).

Чтобы определить множество решений неравенства \(f(x) > 0\), мы должны найти интервалы, где функция положительна.

Находим корни уравнения:
\[x^2 - 8x + 7 = 0\]
\[x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}\]
\[x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}\]
\[x = \frac{8 \pm 6}{2}\]
\[x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7\]
\[x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1\]

Таким образом, мы имеем два корня: \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 1\).

Находим значения функции в интервалах между корнями и за пределами этих корней:
Подставляем \(x = 0\) в функцию:
\[f(0) = 0^2 - 8 \cdot 0 + 7 = 7\]
Подставляем \(x = 2\) в функцию:
\[f(2) = 2^2 - 8 \cdot 2 + 7 = -1\]
Подставляем \(x = 8\) в функцию:
\[f(8) = 8^2 - 8 \cdot 8 + 7 = -9\]

Таким образом, множество решений неравенства \(f(x) > 0\) - это интервалы: \(x < 1\) и \(7 < x\), или в виде объединения: \((-\infty, 1) \cup (7, +\infty)\).

4. Для заданной функции \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) требуется построить график.

Чтобы построить график, мы можем использовать некоторые значимые точки функции. Выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(f(x)\) для построения графика:

\[
\begin{align*}
x &= -2 \quad \Rightarrow \quad f(-2) = \sqrt{-2 + 2} = 0 \\
x &= -1 \quad \Rightarrow \quad f(-1) = \sqrt{-1 + 2} = 1 \\
x &= 0 \quad \Rightarrow \quad f(0) = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2} \\
x &= 1 \quad \Rightarrow \quad f(1) = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} \\
x &= 2 \quad \Rightarrow \quad f(2) = \sqrt{2 + 2} = 2 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем построить график, используя найденные точки.