1. What is the measure of angle A in quadrilateral ABCD, where AB is equal to CD, angle ABD is equal to angle

Серьезно буду отвечать на каждый пункт задачи.

1. Для начала, давайте посмотрим на данное задание. У нас есть четырехугольник ABCD, в котором стороны AB и CD равны, а угол ABD равен углу CDB и оба равны 25 градусов, а угол BDA равен 55 градусам. Нам нужно найти меру угла A.

Давайте сначала рассмотрим угол BDC. Мы знаем, что уголы BDC и ABD равны 25 градусам. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем найти меру угла BCD:

\[BCD = 180 - (ABD + ADB) = 180 - (25 + 55) = 100\] градусов.

Так как AB равна CD, то угол BCD равен углу BAC. Мы можем сделать вывод, что мера угла BAC равна 100 градусам. Но нам нужно найти меру угла A. Поскольку углы A и CDB - смежные, и их сумма должна равняться 180 градусам, мы можем найти меру угла A:

\[A = 180 - CDB = 180 - 25 = 155\] градусов.

Поэтому, мера угла A равна 155 градусам. Ответ: d) 80.

2. Теперь перейдем ко второму пункту задачи. У нас есть параллелограмм ABCD, в котором биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, при этом AM равно 12 см. Биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке K. Нам нужно найти длину отрезка CK.

Для начала, заметим, что биссектриса угла A делит угол A на два равных угла. Поэтому угол AMC равен углу CMA.

У нас есть параллельные стороны AB и CD, поэтому уголы BAC и ACD - смежные, и их сумма равна 180 градусам. Также углы BAC и AMC равны, потому что они соответствующие углы для параллельных прямых AB и MC. Значит, угол AMC равен углу CDA.

Теперь у нас есть равенство углов CMA и CDA. Значит, AMCD - вписанный четырехугольник, и сумма противоположных углов равна 180 градусам.

У нас также есть равенство углов ACD и ACK, потому что они соответствующие углы для параллельных прямых CD и AK. Значит, угол CDA равен углу CAK.

Получается, у нас есть равенство углов CMA и CAK. Значит, AMCK - вписанный четырехугольник, и сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Теперь мы знаем, что угол AMK равен углу CAK. Поскольку угол AMK равен углу CAK, а AM равно 12 см, CK тоже равно 12 см.

Ответ: Длина отрезка CK равна 12 см.

3. Перейдем к третьему пункту задачи. У нас есть параллелограмм ABCD, где сторона BC равна 10 см, сторона AB равна 8 см, точка M является серединой стороны BC, а точка K - серединой стороны AD. Нам нужно найти периметр четырехугольника.

Мы знаем, что параллелограммы имеют противоположные стороны, которые равны и параллельны. Поэтому сторона CD также равна 10 см, а сторона AD - 8 см.

Теперь у нас есть все значения сторон четырехугольника. Чтобы найти периметр, нам нужно просуммировать длины всех сторон:

Периметр = AB + BC + CD + DA
= 8 + 10 + 10 + 8
= 36 см.

Ответ: Периметр четырехугольника равен 36 см.