Яку довжину має гіпотенуза прямокутного трикутника, якщо один катет має довжину √5 см, а проекція другого катета

Давайте розглянемо задачу про прямокутний трикутник. У нас є три сторони: катети і гіпотенуза.

За умовою задачі, один катет має довжину \(\sqrt{5}\) см. Давайте позначимо його як \(a\) і запишемо це у вигляді рівняння:

\[a = \sqrt{5} \, \text{см}\]

Також, ми знаємо, що проекція другого катета на гіпотенузу дорівнює \(1\) см. Давайте позначимо другий катет як \(b\), а проекцію як \(h\) і запишемо це у вигляді рівняння:

\[h = 1 \, \text{см}\]

Ми хочемо знайти довжину гіпотенузи як \(c\).

Знаючи, що в прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи (за теоремою Піфагора), ми можемо записати рівняння:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Підставимо відомі значення:

\[(\sqrt{5})^2 + b^2 = c^2\]

Спростимо це рівняння:

\[5 + b^2 = c^2\]

Тепер ми можемо знайти довжину гіпотенузи \(c\). Для цього потрібно використати питання з проекцією другого катета на гіпотенузу.

Ми знаємо, що проекція другого катета на гіпотенузу дорівнює \(h\). Використаємо подібні трикутники.

За теоремою подібних трикутників, відношення сторін подібних трикутників однакове. Отже, ми можемо записати таке рівняння:

\(\frac{h}{b} = \frac{c}{a}\)

Підставимо відомі значення:

\(\frac{1}{b} = \frac{c}{\sqrt{5}}\)

Ми можемо переписати це рівняння у вигляді:

\(c = \frac{1}{b} \cdot \sqrt{5}\)

Тепер можемо підставити вираз для \(c\) у наше рівняння:

\[5 + b^2 = \left(\frac{1}{b} \cdot \sqrt{5}\right)^2\]

Порахуємо:

\[5 + b^2 = \frac{5}{b^2}\]

Помножимо обидві частини рівняння на \(b^2\), щоб позбавитися від знаменника:

\[5 \cdot b^2 + b^4 = 5\]

Ми отримали четвертого степеня рівняння, яке можна розв"язати шляхом факторизації. Приведемо його до стандартного вигляду:

\[b^4 + 5b^2 - 5 = 0\]

Ну а далі доведеться використовувати числові методи розв"язування рівнянь.

Вибачте за таке складне рівняння, і вам потрібно використати числові методи для його розв"язання.