1. Выполняется ли деление на 18 для суммы a) 17^14 + 17^15, и для суммы б) 10^11 + 10^13? 2. Выполняется ли деление

Конечно, давайте разберем каждую задачу по очереди.

1. Для решения первой задачи, мы должны выяснить, выполняется ли деление суммы \(17^{14} + 17^{15}\) на 18 и суммы \(10^{11} + 10^{13}\) на 18.

а) Начнем с суммы \(17^{14} + 17^{15}\). Для определения делится ли она на 18, мы можем рассмотреть остаток от деления на 18. Для этого, мы можем использовать теорему остатков от деления: если остаток от деления двух чисел равен другому остатку от деления этих чисел, то остаток от деления их суммы также будет равен этому остатку.

Найдем остатки от деления \(17^{14}\) и \(17^{15}\) на 18:
\[
\begin{align*}
17^{14} &\equiv 1^{14} \mod 18 \\
&\equiv 1 \mod 18
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
17^{15} &\equiv 1^{15} \mod 18 \\
&\equiv 1 \mod 18
\end{align*}
\]

Теперь мы можем сложить остатки:
\[
\begin{align*}
1 + 1 &\equiv 2 \mod 18
\end{align*}
\]

Таким образом, сумма \(17^{14} + 17^{15}\) оставляет остаток 2 при делении на 18.

б) Перейдем к сумме \(10^{11} + 10^{13}\). Рассмотрим остатки от деления каждого слагаемого на 18:
\[
\begin{align*}
10^{11} &\equiv (-8)^{11} \mod 18 \\
&\equiv (-1)^{11} \cdot 8^{11} \mod 18 \\
&\equiv -1 \cdot (-64) \mod 18 \\
&\equiv 1 \mod 18
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
10^{13} &\equiv (-8)^{13} \mod 18 \\
&\equiv (-1)^{13} \cdot 8^{13} \mod 18 \\
&\equiv -1 \cdot (-512) \mod 18 \\
&\equiv 14 \mod 18
\end{align*}
\]

Сложим остатки:
\[
\begin{align*}
1 + 14 &\equiv 15 \mod 18
\end{align*}
\]

Таким образом, сумма \(10^{11} + 10^{13}\) оставляет остаток 15 при делении на 18.

2. Теперь рассмотрим вторую задачу, в которой нужно определить, делится ли сумма \(5^{21} + 5^{22} + 5^{23}\) на 31 и сумма \(6^{31} + 6^{32} + 6^{33}\) на 31.

а) Рассмотрим сумму \(5^{21} + 5^{22} + 5^{23}\). Найдем остатки от деления каждого слагаемого на 31:
\[
\begin{align*}
5^{21} &\equiv 5^{3 \cdot 7} \mod 31 \\
&\equiv (5^3)^7 \mod 31 \\
&\equiv (-15)^7 \mod 31 \\
&\equiv -365 \mod 31 \\
&\equiv 19 \mod 31
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
5^{22} &\equiv (5^{21}) \cdot 5 \mod 31 \\
&\equiv 19 \cdot 5 \mod 31 \\
&\equiv 95 \mod 31 \\
&\equiv 2 \mod 31
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
5^{23} &\equiv (5^{21}) \cdot (5^2) \mod 31 \\
&\equiv 19 \cdot 25 \mod 31 \\
&\equiv 475 \mod 31 \\
&\equiv 14 \mod 31
\end{align*}
\]

Сложим остатки:
\[
\begin{align*}
19 + 2 + 14 &\equiv 35 \mod 31 \\
&\equiv 4 \mod 31
\end{align*}
\]

Таким образом, сумма \(5^{21} + 5^{22} + 5^{23}\) оставляет остаток 4 при делении на 31.

б) Перейдем к сумме \(6^{31} + 6^{32} + 6^{33}\). Рассмотрим остатки от деления каждого слагаемого на 31:
\[
\begin{align*}
6^{31} &\equiv 6 \mod 31
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
6^{32} &\equiv (6^{31}) \cdot 6 \mod 31 \\
&\equiv 6 \cdot 6 \mod 31 \\
&\equiv 36 \mod 31 \\
&\equiv 5 \mod 31
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
6^{33} &\equiv (6^{31}) \cdot (6^2) \mod 31 \\
&\equiv 6 \cdot 36 \mod 31 \\
&\equiv 216 \mod 31 \\
&\equiv 6 \mod 31
\end{align*}
\]

Сложим остатки:
\[
\begin{align*}
6 + 5 + 6 &\equiv 17 \mod 31
\end{align*}
\]

Таким образом, сумма \(6^{31} + 6^{32} + 6^{33}\) оставляет остаток 17 при делении на 31.

Итак, чтобы ответить на ваши вопросы:

1) Деление на 18 не выполняется ни для суммы \(17^{14} + 17^{15}\), ни для суммы \(10^{11} + 10^{13}\).

2) Деление на 31 не выполняется ни для суммы \(5^{21} + 5^{22} + 5^{23}\), ни для суммы \(6^{31} + 6^{32} + 6^{33}\).