1. Найти первые 6 членов геометрической прогрессии а) Если b1=2 и q=2 б) Если b1= -2 и q=3 в) Если b1= - 4 и q= -2
2. Найти члены геометрической прогрессии а) Если b1=4, q= -2 и нужно найти b4 б) Если b1= -5, q= -3 и нужно найти b5 в) Если b1=1, q=-3 и нужно найти b6
3. Найти сумму геометрической прогрессии а) Если b1=2, q=3 и n=4 б) Если b1=4, q= -3 и n=5 в) Если b1=12, q= 1/2 и n=3
4. Найти номер подчеркнутого члена а) {4, 12..., 324...} б) {-1,2,-4,8, ..128...} в) {6, 12,24...192...}
5. Определить знаменатель q геометрической прогрессии, если а) b1=5 и b4= −40 б) b1= -5 и b5= 25 в) b1= 1/2 и b6=16
2. Найти члены геометрической прогрессии а) Если b1=4, q= -2 и нужно найти b4 б) Если b1= -5, q= -3 и нужно найти b5 в) Если b1=1, q=-3 и нужно найти b6
3. Найти сумму геометрической прогрессии а) Если b1=2, q=3 и n=4 б) Если b1=4, q= -3 и n=5 в) Если b1=12, q= 1/2 и n=3
4. Найти номер подчеркнутого члена а) {4, 12..., 324...} б) {-1,2,-4,8, ..128...} в) {6, 12,24...192...}
5. Определить знаменатель q геометрической прогрессии, если а) b1=5 и b4= −40 б) b1= -5 и b5= 25 в) b1= 1/2 и b6=16
Sumasshedshiy_Rycar
Давайте начнем с первой задачи.
1а) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 2\) и множитель равен \(q = 2\). Чтобы найти первые 6 членов прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для общего члена геометрической прогрессии:
\[a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\]
Подставим известные значения:
\[a_1 = 2, \quad a_2 = 2^2, \quad a_3 = 2^3, \quad a_4 = 2^4, \quad a_5 = 2^5, \quad a_6 = 2^6\]
Таким образом, первые 6 членов данной геометрической прогрессии будут:
\[2, \quad 4, \quad 8, \quad 16, \quad 32, \quad 64\]
1б) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = -2\) и множитель равен \(q = 3\). Аналогично, используем формулу для общего члена:
\[a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\]
Подставив значения, получаем:
\[a_1 = -2, \quad a_2 = -2 \cdot 3, \quad a_3 = -2 \cdot 3^2, \quad a_4 = -2 \cdot 3^3, \quad a_5 = -2 \cdot 3^4, \quad a_6 = -2 \cdot 3^5\]
Таким образом, первые 6 членов данной геометрической прогрессии будут:
\[-2, \quad -6, \quad -18, \quad -54, \quad -162, \quad -486\]
1в) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = -4\) и множитель равен \(q = -2\). Снова используем формулу для общего члена:
\[a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\]
Подставим известные значения:
\[a_1 = -4, \quad a_2 = -4 \cdot (-2), \quad a_3 = -4 \cdot (-2)^2, \quad a_4 = -4 \cdot (-2)^3, \quad a_5 = -4 \cdot (-2)^4, \quad a_6 = -4 \cdot (-2)^5\]
Таким образом, первые 6 членов данной геометрической прогрессии будут:
\[-4, \quad 8, \quad -16, \quad 32, \quad -64, \quad 128\]
Перейдем ко второй задаче.
2а) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 4\), множитель равен \(q = -2\), и нужно найти четвертый член \(b_4\). Снова воспользуемся формулой для общего члена:
\[a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\]
Подставим известные значения:
\[a_4 = 4 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot (-8) = -32\]
Таким образом, четвертый член данной геометрической прогрессии равен -32.
2б) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = -5\), множитель равен \(q = -3\), и нужно найти пятый член \(b_5\). Подставим значения в формулу:
\[a_5 = -5 \cdot (-3)^4 = -5 \cdot 81 = -405\]
Таким образом, пятый член данной геометрической прогрессии равен -405.
2в) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 1\), множитель равен \(q = -3\), и нужно найти шестой член \(b_6\). Подставим значения в формулу:
\[a_6 = 1 \cdot (-3)^5 = 1 \cdot (-243) = -243\]
Таким образом, шестой член данной геометрической прогрессии равен -243.
Перейдем к третьей задаче.
3а) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 2\), множитель равен \(q = 3\), и нужно найти сумму первых 4 членов прогрессии. Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{{b_1 \cdot (q^n - 1)}}{{q - 1}}\]
Подставим значения:
\[S_4 = \frac{{2 \cdot (3^4 - 1)}}{{3 - 1}} = \frac{{2 \cdot (81 - 1)}}{{2}} = 80\]
Таким образом, сумма первых 4 членов данной геометрической прогрессии равна 80.
3б) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 4\), множитель равен \(q = -3\), и нужно найти сумму первых 5 членов прогрессии.
\[S_5 = \frac{{4 \cdot (-3^5 - 1)}}{{-3 - 1}} = \frac{{4 \cdot (-243 - 1)}}{{-4}} = \frac{{-976}}{{-4}} = 244\]
Таким образом, сумма первых 5 членов данной геометрической прогрессии равна 244.
3в) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 12\), множитель равен \(q = \frac{1}{2}\), и нужно найти сумму первых 3 членов прогрессии.
\[S_3 = \frac{{12 \cdot (\frac{1}{2}^3 - 1)}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{12 \cdot (\frac{1}{8} - 1)}}{{-\frac{1}{2}}} = \frac{{12 \cdot (-\frac{7}{8})}}{{-\frac{1}{2}}} = 42\]
Таким образом, сумма первых 3 членов данной геометрической прогрессии равна 42.
Перейдем к четвертой задаче.
4а) Для нахождения номера подчеркнутого члена в данной геометрической прогрессии {4, 12..., 324...} сначала найдем второй член прогрессии:
\[12 = 4 \cdot q \Rightarrow q = 3\]
Теперь рассмотрим отношение между членами прогрессии:
\[\frac{{12}}{{4}} = \frac{{324}}{{12}} = q^2 \Rightarrow q^2 = 3\]
Далее, найдем значение \(q\):
\[q = \sqrt{3} \approx 1.732\]
Теперь можно найти номер подчеркнутого члена. Представим подчеркнутый член как \(a_n\) и первый член прогрессии как \(a_1\):
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]
Подставим известные значения:
\[324 = 4 \cdot (\sqrt{3})^{(n-1)}\]
Делим обе стороны уравнения на 4:
\[81 = (\sqrt{3})^{(n-1)}\]
Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[81^2 = (\sqrt{3})^2 \cdot (\sqrt{3})^{2(n-1)}\]
\[6561 = 3 \cdot 3^{2(n-1)}\]
Делим обе стороны уравнения на 3:
\[2187 = 3^{2(n-1)}\]
Теперь применим логарифм для нахождения \(n-1\):
\[2(n-1) = \log_3 2187\]
\[2(n-1) = 7\]
\[n-1 = \frac{7}{2}\]
\[n = \frac{7}{2} + 1 = \frac{9}{2} = 4.5\]
Таким образом, номер подчеркнутого члена в данной геометрической прогрессии равен 4.5.
4б) Для нахождения номера подчеркнутого члена в геометрической прогрессии {-1,2,-4,8, ..128...}, снова найдем множитель \(q\):
\[q = \frac{{2 - (-1)}}{{-1 - 2}} = \frac{{3}}{{-3}} = -1\]
Представим подчеркнутый член как \(a_n\) и первый член прогрессии как \(a_1\):
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]
Подставляем известные значения:
\[128 = -1 \cdot (-1)^{(n - 1)}\]
Делим обе стороны уравнения на -1:
\[-128 = (-1)^{(n - 1)}\]
Переведем правую часть в форму без отрицательных чисел:
\[-128 = e^{(i \pi (n - 1))}\]
Теперь найдем значение \(n - 1\):
\(i \pi (n - 1) = \log(-128)\)
\(i \pi (n - 1) = \ln(128) + i \pi\)
\(n - 1 = \frac{\ln(128)}{i \pi} + 1\)
\(n - 1 = 6 + 1 = 7\)
\(n = 8\)
Таким образом, номер подчеркнутого члена в данной геометрической прогрессии равен 8.
4в) Для нахождения номера подчеркнутого члена в геометрической прогрессии {6, 12, 24...192...}, найдем множитель \(q\):
\(q = \frac{12}{6} = 2\)
Представим подчеркнутый член как \(a_n\) и первый член прогрессии как \(a_1\):
\(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\)
Подставляем известные значения:
\(192 = 6 \cdot 2^{(n - 1)}\)
Делим обе стороны уравнения на 6:
\(32 = 2^{(n - 1)}\)
Возведем обе стороны уравнения в логарифмическую форму:
\(\log_2 32 = \log_2 2^{(n - 1)}\)
\(5 = n - 1\)
\(n = 6\)
Таким образом, номер подчеркнутого члена в данной геометрической прогрессии равен 6.
Перейдем к пятой задаче.
5а) Для определения знаменателя \(q\) геометрической прогрессии, если известны первый член \(b_1 = 5\) и четвертый член \(b_4 = -40\), мы можем использовать формулу для общего члена:
\(a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\)
Подставляем известные значения:
\(b_4 = 5 \cdot q^{(4 - 1)}\)
\(-40 = 5 \cdot q^3\)
Делим обе стороны уравнения на 5:
\(-8 = q^3\)
Далее, находим значение \(q\):
\(q = \sqrt[3]{-8}\)
\(q = -2\)
Таким образом, знаменатель \(q\) данной геометрической прогрессии равен -2.
5б) Для определения знаменателя \(q\) геометрической прогрессии, если известны первый член \(b_1 = -5\) и пятый член \(b_5 = 25\), мы также можем использовать формулу для общего члена:
\(a_n = b_1 \cdot q^{
1а) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 2\) и множитель равен \(q = 2\). Чтобы найти первые 6 членов прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для общего члена геометрической прогрессии:
\[a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\]
Подставим известные значения:
\[a_1 = 2, \quad a_2 = 2^2, \quad a_3 = 2^3, \quad a_4 = 2^4, \quad a_5 = 2^5, \quad a_6 = 2^6\]
Таким образом, первые 6 членов данной геометрической прогрессии будут:
\[2, \quad 4, \quad 8, \quad 16, \quad 32, \quad 64\]
1б) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = -2\) и множитель равен \(q = 3\). Аналогично, используем формулу для общего члена:
\[a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\]
Подставив значения, получаем:
\[a_1 = -2, \quad a_2 = -2 \cdot 3, \quad a_3 = -2 \cdot 3^2, \quad a_4 = -2 \cdot 3^3, \quad a_5 = -2 \cdot 3^4, \quad a_6 = -2 \cdot 3^5\]
Таким образом, первые 6 членов данной геометрической прогрессии будут:
\[-2, \quad -6, \quad -18, \quad -54, \quad -162, \quad -486\]
1в) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = -4\) и множитель равен \(q = -2\). Снова используем формулу для общего члена:
\[a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\]
Подставим известные значения:
\[a_1 = -4, \quad a_2 = -4 \cdot (-2), \quad a_3 = -4 \cdot (-2)^2, \quad a_4 = -4 \cdot (-2)^3, \quad a_5 = -4 \cdot (-2)^4, \quad a_6 = -4 \cdot (-2)^5\]
Таким образом, первые 6 членов данной геометрической прогрессии будут:
\[-4, \quad 8, \quad -16, \quad 32, \quad -64, \quad 128\]
Перейдем ко второй задаче.
2а) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 4\), множитель равен \(q = -2\), и нужно найти четвертый член \(b_4\). Снова воспользуемся формулой для общего члена:
\[a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\]
Подставим известные значения:
\[a_4 = 4 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot (-8) = -32\]
Таким образом, четвертый член данной геометрической прогрессии равен -32.
2б) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = -5\), множитель равен \(q = -3\), и нужно найти пятый член \(b_5\). Подставим значения в формулу:
\[a_5 = -5 \cdot (-3)^4 = -5 \cdot 81 = -405\]
Таким образом, пятый член данной геометрической прогрессии равен -405.
2в) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 1\), множитель равен \(q = -3\), и нужно найти шестой член \(b_6\). Подставим значения в формулу:
\[a_6 = 1 \cdot (-3)^5 = 1 \cdot (-243) = -243\]
Таким образом, шестой член данной геометрической прогрессии равен -243.
Перейдем к третьей задаче.
3а) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 2\), множитель равен \(q = 3\), и нужно найти сумму первых 4 членов прогрессии. Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{{b_1 \cdot (q^n - 1)}}{{q - 1}}\]
Подставим значения:
\[S_4 = \frac{{2 \cdot (3^4 - 1)}}{{3 - 1}} = \frac{{2 \cdot (81 - 1)}}{{2}} = 80\]
Таким образом, сумма первых 4 членов данной геометрической прогрессии равна 80.
3б) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 4\), множитель равен \(q = -3\), и нужно найти сумму первых 5 членов прогрессии.
\[S_5 = \frac{{4 \cdot (-3^5 - 1)}}{{-3 - 1}} = \frac{{4 \cdot (-243 - 1)}}{{-4}} = \frac{{-976}}{{-4}} = 244\]
Таким образом, сумма первых 5 членов данной геометрической прогрессии равна 244.
3в) В данной геометрической прогрессии известно, что первый член равен \(b_1 = 12\), множитель равен \(q = \frac{1}{2}\), и нужно найти сумму первых 3 членов прогрессии.
\[S_3 = \frac{{12 \cdot (\frac{1}{2}^3 - 1)}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{12 \cdot (\frac{1}{8} - 1)}}{{-\frac{1}{2}}} = \frac{{12 \cdot (-\frac{7}{8})}}{{-\frac{1}{2}}} = 42\]
Таким образом, сумма первых 3 членов данной геометрической прогрессии равна 42.
Перейдем к четвертой задаче.
4а) Для нахождения номера подчеркнутого члена в данной геометрической прогрессии {4, 12..., 324...} сначала найдем второй член прогрессии:
\[12 = 4 \cdot q \Rightarrow q = 3\]
Теперь рассмотрим отношение между членами прогрессии:
\[\frac{{12}}{{4}} = \frac{{324}}{{12}} = q^2 \Rightarrow q^2 = 3\]
Далее, найдем значение \(q\):
\[q = \sqrt{3} \approx 1.732\]
Теперь можно найти номер подчеркнутого члена. Представим подчеркнутый член как \(a_n\) и первый член прогрессии как \(a_1\):
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]
Подставим известные значения:
\[324 = 4 \cdot (\sqrt{3})^{(n-1)}\]
Делим обе стороны уравнения на 4:
\[81 = (\sqrt{3})^{(n-1)}\]
Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[81^2 = (\sqrt{3})^2 \cdot (\sqrt{3})^{2(n-1)}\]
\[6561 = 3 \cdot 3^{2(n-1)}\]
Делим обе стороны уравнения на 3:
\[2187 = 3^{2(n-1)}\]
Теперь применим логарифм для нахождения \(n-1\):
\[2(n-1) = \log_3 2187\]
\[2(n-1) = 7\]
\[n-1 = \frac{7}{2}\]
\[n = \frac{7}{2} + 1 = \frac{9}{2} = 4.5\]
Таким образом, номер подчеркнутого члена в данной геометрической прогрессии равен 4.5.
4б) Для нахождения номера подчеркнутого члена в геометрической прогрессии {-1,2,-4,8, ..128...}, снова найдем множитель \(q\):
\[q = \frac{{2 - (-1)}}{{-1 - 2}} = \frac{{3}}{{-3}} = -1\]
Представим подчеркнутый член как \(a_n\) и первый член прогрессии как \(a_1\):
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]
Подставляем известные значения:
\[128 = -1 \cdot (-1)^{(n - 1)}\]
Делим обе стороны уравнения на -1:
\[-128 = (-1)^{(n - 1)}\]
Переведем правую часть в форму без отрицательных чисел:
\[-128 = e^{(i \pi (n - 1))}\]
Теперь найдем значение \(n - 1\):
\(i \pi (n - 1) = \log(-128)\)
\(i \pi (n - 1) = \ln(128) + i \pi\)
\(n - 1 = \frac{\ln(128)}{i \pi} + 1\)
\(n - 1 = 6 + 1 = 7\)
\(n = 8\)
Таким образом, номер подчеркнутого члена в данной геометрической прогрессии равен 8.
4в) Для нахождения номера подчеркнутого члена в геометрической прогрессии {6, 12, 24...192...}, найдем множитель \(q\):
\(q = \frac{12}{6} = 2\)
Представим подчеркнутый член как \(a_n\) и первый член прогрессии как \(a_1\):
\(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\)
Подставляем известные значения:
\(192 = 6 \cdot 2^{(n - 1)}\)
Делим обе стороны уравнения на 6:
\(32 = 2^{(n - 1)}\)
Возведем обе стороны уравнения в логарифмическую форму:
\(\log_2 32 = \log_2 2^{(n - 1)}\)
\(5 = n - 1\)
\(n = 6\)
Таким образом, номер подчеркнутого члена в данной геометрической прогрессии равен 6.
Перейдем к пятой задаче.
5а) Для определения знаменателя \(q\) геометрической прогрессии, если известны первый член \(b_1 = 5\) и четвертый член \(b_4 = -40\), мы можем использовать формулу для общего члена:
\(a_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\)
Подставляем известные значения:
\(b_4 = 5 \cdot q^{(4 - 1)}\)
\(-40 = 5 \cdot q^3\)
Делим обе стороны уравнения на 5:
\(-8 = q^3\)
Далее, находим значение \(q\):
\(q = \sqrt[3]{-8}\)
\(q = -2\)
Таким образом, знаменатель \(q\) данной геометрической прогрессии равен -2.
5б) Для определения знаменателя \(q\) геометрической прогрессии, если известны первый член \(b_1 = -5\) и пятый член \(b_5 = 25\), мы также можем использовать формулу для общего члена:
\(a_n = b_1 \cdot q^{
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
