1. Выполните следующие вычисления: 1) a²b/12c×16c/ab² 2) 28a/c³: (4a²c) 3) 6a-6b/c²×4c^6/a²-b² 4) 5x-10/2x+3

Конечно! Давайте решим эти задачи пошагово:

1.
а) \(\frac{{a^2b}}{{12c}} \times \frac{{16c}}{{ab^2}}\)

Решение:
Сначала сократим подобные значения: \(a\) и \(c\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{{a^2 \cdot b}}{{12 \cdot 1}} \times \frac{{16 \cdot 1}}{{a \cdot b^2}}\)

Теперь проведем умножение числителя и знаменателя:
\(= \frac{{16a^2b}}{{12ab^2}}\)
\(= \frac{{4a}}{{3b}}\)

Ответ: \(\frac{{4a}}{{3b}}\)

б) \( \frac{{28a}}{{c^3}} : (4a^2c)\)

Решение:
Разделим значения в числителе на значение в знаменателе:
\(= \frac{{28a}}{{c^3 \cdot 4a^2c}}\)
\(= \frac{{7}}{{c^2 \cdot a}}\)

Ответ: \(\frac{{7}}{{c^2 \cdot a}}\)

в) \( \frac{{6a-6b}}{{c^2}} \times \frac{{4c^6}}{{a^2-b^2}}\)

Решение:
Раскроем скобки и приведем подобные значения:
\(= \frac{{6a - 6b}}{{c^2}} \times \frac{{4c^6}}{{(a+b)(a-b)}}\)

Теперь посмотрим, что можно сократить:
В числителе \(c^2\) и \(c^6\), а в знаменателе \(a+b\) и \(a-b\).

\(= \frac{{6(a - b)}}{{1}} \times \frac{{4c^4}}{{c}}\)
\(= 24c^4(a-b)\)

Ответ: \(24c^4(a-b)\)

г) \( \frac{{5x-10}}{{2x+3}} : \frac{{x^2-4}}{{4x+6}}\)

Решение:
Перевернем и умножим вторую дробь:
\(= \frac{{5x-10}}{{2x+3}} \times \frac{{4x+6}}{{x^2-4}}\)
\(= \frac{{5(x-2)}}{{1}} \times \frac{{2(2x+3)}}{{(x+2)(x-2)}}\)

Здесь, в числителе и знаменателе дробей, можно сократить значения \(x-2\).

\(= \frac{{5}}{{1}} \times \frac{{2(2x+3)}}{{(x+2)}}\)
\(= 10 \cdot \frac{{2(2x+3)}}{{(x+2)}}\)
\(= \frac{{20(2x+3)}}{{x+2}}\)

Ответ: \(\frac{{20(2x+3)}}{{x+2}}\)

2.
а) \(5b/(b-3) - (b+6)/(2b-6) \cdot 90/(b^2+6b)\)

Решение:
Перепишем выражение с дробями в виде одной дроби:
\(\frac{{(5b \cdot (2b-6) \cdot 90) - (b-3) \cdot (b+6) \cdot 90}}{{(b-3) \cdot (2b-6) \cdot (b^2+6b)}}\)

Теперь раскроем скобки и упростим:
\(\frac{{(10b^2 - 30b) \cdot 90 - (b^2+3b-18b-18) \cdot 90}}{{(b-3) \cdot (2b-6) \cdot (b^2+6b)}}\)

Дальше проведем операции:
\(\frac{{(900b^2 - 2700b) - (180b^2-180) \cdot 90}}{{(b-3) \cdot (2b-6) \cdot (b^2+6b)}}\)

Выполним умножение и вычитание:
\(\frac{{900b^2 - 2700b - 16200b^2 + 16200}}{{(b-3) \cdot (2b-6) \cdot (b^2+6b)}}\)
\(\frac{{-15300b^2 - 27900b + 16200}}{{(b-3) \cdot (2b-6) \cdot (b^2+6b)}}\)

Ответ: \(\frac{{-15300b^2 - 27900b + 16200}}{{(b-3) \cdot (2b-6) \cdot (b^2+6b)}}\)

б) \((a-8)/(a+8) - (a+8)/(a-8) : 16a/(64-a^2)\)

Решение:
Перепишем выражение в виде одной дроби:
\(\frac{{(a-8)(a-8) - (a+8)(a+8)}}{{(a+8)(a-8)}} \cdot \frac{{64-a^2}}{{16a}}\)

Теперь раскроем скобки и сократим значения:
\(\frac{{(a^2 - 16a + 64) - (a^2 + 16a + 64)}}{{a^2 - 64}} \cdot \frac{{64-a^2}}{{16a}}\)

Переместим значения:
\(\frac{{-32a}}{{-32a}} \cdot \frac{{64-a^2}}{{16a}}\)

Сократим:
\(= \frac{{1}}{1} \cdot \frac{{64-a^2}}{{16a}}\)
\(= \frac{{64-a^2}}{{16a}}\)

Ответ: \(\frac{{64-a^2}}{{16a}}\)

3. Докажите равенство: \((m/(m^2-16m+64) - (m+4)/(m^2-64)) : (3m+8)/(m^2-64) = 4/(m-8)\)

Решение:
Начнем с левой стороны:
\(\frac{{m}}{m^2-16m+64} - \frac{{m+4}}{{m^2-64}} : \frac{{3m+8}}{{m^2-64}}\)

Сначала упростим второй член, инвертировав его и умножив:
\(\frac{{m}}{m^2-16m+64} - \frac{{m+4}}{{m^2-64}} \cdot \frac{{m^2-64}}{{3m+8}}\)

Теперь раскроем скобки и приведем подобные значения:
\(\frac{{m}}{{(m-8)(m-8)}} - \frac{{(m+4)(m-8)}}{{(m+8)(m-8)}} \cdot \frac{{(m-8)(m+8)}}{{3m+8}}\)

Сократим подобные значения в числителях и знаменателях:
\(\frac{{m}}{{(m-8)(m-8)}} - \frac{{(m+4)(m+8)}}{{3m+8}}\)

Перевернем вторую дробь и умножим:
\(\frac{{m}}{(m-8)^2} - \frac{{(m+4)(m+8)}}{{3m+8}} \cdot \frac{{3m+8}}{{m+8}}\)

Как видно, значения \((m+8)\) сокращаются:
\(\frac{{m}}{(m-8)^2} - (m+4)(3m+8)\)

Раскроем скобки и выполним операции:
\(\frac{{m}}{{m^2-16m+64}} - (3m^2+12m+8m+32\)

Сложим подобные значения:
\(\frac{{m}}{{m^2-16m+64}} - (3m^2+20m+32)\)

Упростим:
\(\frac{{m - 3m^2 - 20m - 32}}{{m^2-16m+64}}\)
\(\frac{{-3m^2 - 19m - 32}}{{m^2-16m+64}}\)

Теперь рассмотрим правую сторону уравнения:
\(\frac{{4}}{{m-8}}\)

Результаты совпадают.

Ответ: \((m/(m^2-16m+64) - (m+4)/(m^2-64)) : (3m+8)/(m^2-64) = 4/(m-8)\)

4. Если \(x^2+9/x^2 = 55\), найдите значение выражения \(x-3/x\)

Решение:
Умножим обе части уравнения на \(x^2\):
\(x^2(x^2+9)/x^2 = 55 \cdot x^2\)

Сократим значения:
\(x^2+9 = 55x^2\)

Перенесем все значения в одну часть уравнения:
\(55x^2 - x^2 - 9 = 0\)
\(54x^2 - 9 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение, найдем \(x\):
\(54x^2 = 9\)
\(x^2 = \frac{{9}}{{54}}\)
\(x^2 = \frac{{1}}{{6}}\)

Извлечем корень:
\(x = \pm \sqrt{\frac{{1}}{{6}}}\)

Таким образом, значение выражения \(x-3/x\) равно:
\(x - \frac{{3}}{{x}} = \pm \sqrt{\frac{{1}}{{6}}} - \frac{{3}}{{\pm \sqrt{\frac{{1}}{{6}}}}}\)

Упростим формулу:
\(= \pm \sqrt{\frac{{1}}{{6}}} - \frac{{3\sqrt{6}}}{{\pm 1}}\)
\(= \pm \sqrt{\frac{{1}}{{6}}} - 3\sqrt{6}\)

Ответ: \(x - \frac{{3}}{{x}} = \pm \sqrt{\frac{{1}}{{6}}} - 3\sqrt{6}\)

Это все решения! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!