7. Каково значение двадцать первого члена данной арифметической прогрессии, если известно, что разность между четырнадцатым и шестым членами равна 56, а сумма первых тридцати одного члена равна 124? Варианты ответов: 1) 35; 2) 39; 3) 38; 4) 36.
Pchelka
Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение двадцать первого члена арифметической прогрессии. Для этого мы должны сначала найти разность \(d\) этой прогрессии, а затем использовать формулу для вычисления \(n\)-го члена арифметической прогрессии.
Дано, что разность между четырнадцатым и шестым членами прогрессии равна 56. Мы можем использовать эту информацию, чтобы определить значение \(d\):
\[d = \frac{{a_{14} - a_6}}{{14 - 6}}\]
Здесь \(a_{14}\) — значение четырнадцатого члена, а \(a_6\) — значение шестого члена прогрессии. Подставим значения:
\[d = \frac{{a_{14} - a_6}}{{8}} = 56\]
Теперь нам известно, что сумма первых тридцати одного члена прогрессии равна 124. Мы можем воспользоваться формулой для вычисления суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2}\]
Здесь \(S\) — сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) — значение первого члена, \(a_n\) — значение \(n\)-го члена прогрессии. Подставим значения:
\[124 = \frac{{31 \cdot (a_1 + a_{31})}}{2}\]
Теперь, когда у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\), \(a_{31}\)), мы можем их решить. Решим первое уравнение относительно \(a_{14}\):
\[56 \cdot 8 = a_{14} - a_6\]
\[a_{14} = 56 \cdot 8 + a_6\]
Подставим найденное значение \(a_{14}\) во второе уравнение:
\[124 = \frac{{31 \cdot (a_1 + (56 \cdot 8 + a_6))}}{2}\]
\[248 = 31 \cdot (a_1 + (56 \cdot 8 + a_6))\]
\[248 = 31 \cdot (a_1 + 448 + a_6)\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_6\]
Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестных (\(a_1\), \(a_6\)), но нам нужно найти значение двадцать первого члена (\(a_{21}\)). Подставим его значение:
\[a_{21} = a_1 + 20d\]
Заменим \(d\) на значение, которое мы получили из первого уравнения:
\[a_{21} = a_1 + 20 \cdot (56 \cdot 8 + a_6)\]
Теперь подставим получившиеся значения во второе уравнение:
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_6\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31 \cdot (a_{21} - a_1)\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_{21} - 31a_1\]
\[248 = 31a_{21} + 13968\]
\[31a_{21} = 248 - 13968\]
\[31a_{21} = -13720\]
\[a_{21} = \frac{{-13720}}{{31}}\]
\[a_{21} \approx -442.58\]
Ответ: значение двадцать первого члена данной арифметической прогрессии примерно равно -442.58.
Дано, что разность между четырнадцатым и шестым членами прогрессии равна 56. Мы можем использовать эту информацию, чтобы определить значение \(d\):
\[d = \frac{{a_{14} - a_6}}{{14 - 6}}\]
Здесь \(a_{14}\) — значение четырнадцатого члена, а \(a_6\) — значение шестого члена прогрессии. Подставим значения:
\[d = \frac{{a_{14} - a_6}}{{8}} = 56\]
Теперь нам известно, что сумма первых тридцати одного члена прогрессии равна 124. Мы можем воспользоваться формулой для вычисления суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2}\]
Здесь \(S\) — сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) — значение первого члена, \(a_n\) — значение \(n\)-го члена прогрессии. Подставим значения:
\[124 = \frac{{31 \cdot (a_1 + a_{31})}}{2}\]
Теперь, когда у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\), \(a_{31}\)), мы можем их решить. Решим первое уравнение относительно \(a_{14}\):
\[56 \cdot 8 = a_{14} - a_6\]
\[a_{14} = 56 \cdot 8 + a_6\]
Подставим найденное значение \(a_{14}\) во второе уравнение:
\[124 = \frac{{31 \cdot (a_1 + (56 \cdot 8 + a_6))}}{2}\]
\[248 = 31 \cdot (a_1 + (56 \cdot 8 + a_6))\]
\[248 = 31 \cdot (a_1 + 448 + a_6)\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_6\]
Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестных (\(a_1\), \(a_6\)), но нам нужно найти значение двадцать первого члена (\(a_{21}\)). Подставим его значение:
\[a_{21} = a_1 + 20d\]
Заменим \(d\) на значение, которое мы получили из первого уравнения:
\[a_{21} = a_1 + 20 \cdot (56 \cdot 8 + a_6)\]
Теперь подставим получившиеся значения во второе уравнение:
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_6\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31 \cdot (a_{21} - a_1)\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_{21} - 31a_1\]
\[248 = 31a_{21} + 13968\]
\[31a_{21} = 248 - 13968\]
\[31a_{21} = -13720\]
\[a_{21} = \frac{{-13720}}{{31}}\]
\[a_{21} \approx -442.58\]
Ответ: значение двадцать первого члена данной арифметической прогрессии примерно равно -442.58.
Знаешь ответ?