7. Каково значение двадцать первого члена данной арифметической прогрессии, если известно, что разность между

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение двадцать первого члена арифметической прогрессии. Для этого мы должны сначала найти разность \(d\) этой прогрессии, а затем использовать формулу для вычисления \(n\)-го члена арифметической прогрессии.

Дано, что разность между четырнадцатым и шестым членами прогрессии равна 56. Мы можем использовать эту информацию, чтобы определить значение \(d\):

\[d = \frac{{a_{14} - a_6}}{{14 - 6}}\]

Здесь \(a_{14}\) — значение четырнадцатого члена, а \(a_6\) — значение шестого члена прогрессии. Подставим значения:

\[d = \frac{{a_{14} - a_6}}{{8}} = 56\]

Теперь нам известно, что сумма первых тридцати одного члена прогрессии равна 124. Мы можем воспользоваться формулой для вычисления суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2}\]

Здесь \(S\) — сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) — значение первого члена, \(a_n\) — значение \(n\)-го члена прогрессии. Подставим значения:

\[124 = \frac{{31 \cdot (a_1 + a_{31})}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\), \(a_{31}\)), мы можем их решить. Решим первое уравнение относительно \(a_{14}\):

\[56 \cdot 8 = a_{14} - a_6\]
\[a_{14} = 56 \cdot 8 + a_6\]

Подставим найденное значение \(a_{14}\) во второе уравнение:

\[124 = \frac{{31 \cdot (a_1 + (56 \cdot 8 + a_6))}}{2}\]
\[248 = 31 \cdot (a_1 + (56 \cdot 8 + a_6))\]
\[248 = 31 \cdot (a_1 + 448 + a_6)\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_6\]

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестных (\(a_1\), \(a_6\)), но нам нужно найти значение двадцать первого члена (\(a_{21}\)). Подставим его значение:

\[a_{21} = a_1 + 20d\]

Заменим \(d\) на значение, которое мы получили из первого уравнения:

\[a_{21} = a_1 + 20 \cdot (56 \cdot 8 + a_6)\]

Теперь подставим получившиеся значения во второе уравнение:

\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_6\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31 \cdot (a_{21} - a_1)\]
\[248 = 31a_1 + 13968 + 31a_{21} - 31a_1\]
\[248 = 31a_{21} + 13968\]
\[31a_{21} = 248 - 13968\]
\[31a_{21} = -13720\]
\[a_{21} = \frac{{-13720}}{{31}}\]
\[a_{21} \approx -442.58\]

Ответ: значение двадцать первого члена данной арифметической прогрессии примерно равно -442.58.