1) Векторы, соединяющие произвольную точку S с вершинами прямоугольника, являются равными векторами, соединяющими

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Векторы, соединяющие точку S с вершинами прямоугольника, являются равными векторами, соединяющими вершины B и C с вершиной DA.

Для начала обратим внимание на прямоугольник ABCD. Вектор, соединяющий точку S с вершиной B, обозначим его как \(\overrightarrow{BS}\). Аналогично, вектор соединяющий точку S с вершиной C, обозначим как \(\overrightarrow{CS}\).

Также у нас есть векторы, соединяющие вершины B и C с вершиной DA. Обозначим их как \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{CD}\) соответственно.

Условие задачи говорит нам, что эти векторы равны: \(\overrightarrow{BS} = \overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{CS} = \overrightarrow{CD}\).

2) Укажите все пары вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, которые определяют коллинеарные с вектором AC ненулевые векторы.

Для того чтобы определить ненулевые векторы, коллинеарные с вектором AC, мы должны найти пары вершин, между которыми направлены соответствующие векторы.

Вектор AC направлен от вершины А к вершине C. Поэтому, все пары вершин, соединение которых направлено от вершины A и заканчивается на вершине С, будут соответствовать нашему условию.

Таким образом, возможные пары вершин будут: (A, B1), (A, B), (A, C1), (A, C), (A, D1), (A, D).

3) Определите вектор, который является суммой векторов AB, B1C1, DD1 и CD в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1.

Для определения суммы данных векторов, мы просто складываем их.

Таким образом, вектор, являющийся суммой данных векторов будет: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B1C1} + \overrightarrow{DD1} + \overrightarrow{CD}\).

4) Если AB=b и AC=c, как выразить вектор BD через векторы b и c, если точка D делит сторону BC в отношении 1:2?

Мы знаем, что точка D делит сторону BC в отношении 1:2. Это означает, что отношение длины BD к длине DC также будет равно 1:2.

Пусть \(BD = x\) и \(DC = 2x\).

Также у нас есть \(AB = b\) и \(AC = c\).

Используя данную информацию, мы можем выразить вектор BD следующим образом:
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}\).

Замечание: Нам не дано значение векторов b и c, поэтому мы не можем выразить вектор BD конкретно, но мы можем записать его в общем виде, используя данные из условия задачи.

5) Разложите вектор BD на составляющие по векторам BA и BC в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1.

Разложение вектора BD на составляющие по векторам BA и BC подразумевает представление вектора BD в виде их линейной комбинации.

Таким образом, вектор BD можно разложить следующим образом:
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\).

В этой формуле, мы разложили вектор BC на составляющие по векторам BA и AD.

Надеюсь, эти пошаговые решения задач помогут вам понять материал лучше. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!