Каково отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его основания, если косинус угла наклона диагонали

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые геометрические знания о цилиндре и тригонометрии.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно выразить через формулу: \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Площадь основания цилиндра равна \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\).

Мы должны найти отношение площади боковой поверхности к площади основания: \(\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}}\).

Задано значение косинуса угла наклона диагонали поперечного сечения к площади основания: \(\cos \theta = \frac{7}{25}\).

Так как \(h\) и \(r\) связаны через угол наклона диагонали, мы можем использовать тригонометрические соотношения для определения \(h\) и \(r\).

Известно, что \(\cos \theta = \frac{r}{d}\), где \(d\) - длина диагонали поперечного сечения цилиндра.

Так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(r\) и \(h\), мы можем применить теорему Пифагора: \(d^2 = r^2 + h^2\).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(r\) и \(h\)), и мы можем решить эту систему уравнений.

Сначала из второго уравнения выразим \(r^2\) через \(d\) и \(h\): \(r^2 = d^2 - h^2\).

Подставим это выражение для \(r^2\) в первое уравнение:
\(\frac{7}{25} = \frac{r}{d}\).

Перепишем это уравнение, выражая \(r\) через \(d\):
\(r = \frac{7d}{25}\).

Теперь подставим это значение \(r\) во второе уравнение:
\(\left(\frac{7d}{25}\right)^2 = d^2 - h^2\).
\(\frac{49d^2}{625} = d^2 - h^2\).

Разделим обе части уравнения на \(d^2\):
\(\frac{49}{625} = 1 - \frac{h^2}{d^2}\).

Выразим \(\frac{h^2}{d^2}\):
\(\frac{h^2}{d^2} = 1 - \frac{49}{625}\).

Выполним вычисления в выражении:
\(\frac{h^2}{d^2} = \frac{576}{625}\).

Теперь найдем отношение площади боковой поверхности к площади основания:
\(\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{2\pi rh}{\pi r^2} = \frac{2h}{r}\).

Подставим значения \(h = \sqrt{\frac{576}{625}} \cdot d\) и \(r = \frac{7d}{25}\):
\(\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{2\sqrt{\frac{576}{625}} \cdot d}{\frac{7d}{25}} = \frac{2 \cdot \frac{24}{25} \cdot d}{\frac{7}{25} \cdot d} = \frac{48}{7}\).

Ответ: Отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его основания равно \(\frac{48}{7}\), округленное до целого числа, это 7.