Знайти об’єм конуса, якщо радіус його основи відомий і площа бічної поверхні втричі більша від площі основи

Хорошо, давайте найдем объем конуса по заданным данным.

Для начала, нам необходимо знать формулу для вычисления объема конуса. Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

\[V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\]

Где:
- \(V\) - объем конуса,
- \(\pi\) - число Пи, примерное значение которого можно округлить до 3,14,
- \(r\) - радиус основания конуса,
- \(h\) - высота конуса.

Для решения задачи нам дано, что площадь боковой поверхности конуса втричи больше площади основания. Мы знаем, что площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

\[S_{\text{бок}} = \pi r l\]

Где:
- \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности,
- \(l\) - образующая конуса.

Поскольку известно, что площадь боковой поверхности в три раза больше площади основания, можно записать уравнение:

\[S_{\text{бок}} = 3S_{\text{осн}}\]

Подставляя значения в формулу для площади боковой поверхности, получаем:

\(\pi r l = 3\pi r^2\)

Отсюда, можно выразить образующую \(l\) через радиус основания \(r\):

\(l = 3r\)

Теперь, мы можем найти высоту конуса \(h\) с помощью теоремы Пифагора. В треугольнике, образованном радиусом основания, образующей и высотой, радиус основания \(r\), образующая \(l\) и высота \(h\) являются сторонами. Теорема Пифагора для этого треугольника будет выглядеть так:

\[r^2 + h^2 = l^2\]

Подставляя значение образующей \(l\), получим:

\[r^2 + h^2 = (3r)^2\]

Разложим это уравнение:

\[r^2 + h^2 = 9r^2\]

Выразим \(h^2\):

\[h^2 = 8r^2\]

Теперь можем найти высоту конуса:

\[h = \sqrt{8r^2}\]

Учитывая, что объем конуса равен \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\), исходя из полученных выше выражений, мы можем рассчитать объем конуса. Подставляя значения в формулу, получим:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{8r^2}\]

Сокращая коэффициенты, можно упростить формулу:

\[V = \frac{2}{3} \pi r^3\]

Таким образом, объем конуса можно найти, используя формулу \(V = \frac{2}{3} \pi r^3\) при заданных условиях.