1 В параллелограмме ABCD, точка О является пересечением диагоналей, и точка М находится на стороне BD так, что ВМ

Для того чтобы решить эти задачи, нам необходимо использовать определенные свойства и формулы из геометрии и векторного анализа. Перейдем к решению каждой задачи по очереди.

1. Пусть \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) -- векторы, направленные соответственно по стороне BC и стороне AD параллелограмма ABCD. Так как точка М находится на стороне BD так, что \(\vec{BM} = \vec{MO}\), то можем записать:
\(\vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{BD} + \vec{OM})\)
Так как в параллелограмме диагонали делятся пополам, то \(\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CD})\).
Заменив \(\vec{BD}\) в выражении для \(\vec{BM}\), получим:
\(\vec{BM} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CD}) + \vec{OM}\right)\)
Упростим это выражение:
\(\vec{BM} = \frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{CD}) + \frac{1}{2}\vec{OM}\)
Получили выражение для вектора \(\vec{BM}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{OM}\).

2. Пусть \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) -- векторы, направленные соответственно по сторонам AD, DB и DC тетраэдра ABCD. Так как точка К является серединой ребра AC, то можно записать:
\(\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MC})\)
Разложим эти векторы по векторам \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
\(\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DC}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}\)
Также известно, что точка М является серединой отрезка KD, поэтому можно записать:
\(\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{DK} + \vec{DM})\)
Разложим вектор \(\vec{DK}\) по векторам \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
\(\vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\)
Заменим \(\vec{DK}\) в выражении для \(\vec{DM}\), получим:
\(\vec{DM} = \frac{1}{2}((\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \vec{DM})\)
Упростим это выражение:
\(\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \frac{1}{2}\vec{DM}\)
Решим это уравнение относительно \(\vec{DM}\):
\(\frac{1}{2}\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\)
\(\vec{DM} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\)
Получили разложение вектора \(\vec{DM}\) по векторам \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).

3. Даны векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Необходимо найти вектор \(\vec{p} = 2\vec{a} - 3\vec{b} - \vec{c}\). Для этого нужно просто сложить и вычесть соответствующие координаты векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
\(\vec{p} = (2\cdot1 - 3\cdot3 - 0; 2\cdot(-2) - 3\cdot(-6) - (-3); 2\cdot0 - 3\cdot0 - 4) = (-7; 9; -4)\)
Таким образом, найдены координаты вектора \(\vec{p}\).

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдем угол \(\phi\) между векторами \(\vec{AD1}\) и \(\vec{BM}\), где М является серединой ребра AD. Для этого воспользуемся скалярным произведением векторов и его свойствами:
\(\cos \phi = \frac{\vec{AD1} \cdot \vec{BM}}{|\vec{AD1}||\vec{BM}|}\)
Вычислим числитель:
\(\vec{AD1} \cdot \vec{BM} = (1\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot(-1)) = 1\)
Вычислим знаменатель:
\(|\vec{AD1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1\), \(|\vec{BM}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\)
Подставим значения в формулу:
\(\cos \phi = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Таким образом, \(\phi = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Это подробное и обстоятельное решение всех задач. Надеюсь, что объяснение было понятным. Если у вас возникнут еще вопросы или потребуется помощь в других заданиях, не стесняйтесь обратиться!