1) В параллелограмме ABCD с длиной стороны BC равной 8 см, длиной стороны BA равной 12 см и углом B равным 45°

1) Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны по длине. Кроме того, мы знаем, что в параллелограмме углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой.

Исходя из этого свойства и предоставленных данных, мы можем найти сторону AB.

Так как сторона BC равна 8 см, а угол B равен 45°, то мы можем использовать тригонометрию для нахождения стороны AB.

Используя теорему синусов, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{AB}{\sin B} = \frac{BC}{\sin C}\]

Заменяя соответствующие значения, получим:

\[\frac{AB}{\sin 45°} = \frac{8}{\sin 135°}\]

Так как \(\sin 135° = \sin (90° + 45°) = \sin 45°\), у нас получится:

\[\frac{AB}{\sin 45°} = \frac{8}{\sin 45°}\]

Подставив значения синусов и решив уравнение, мы найдем значение стороны AB:

\[AB = 8 \cdot \frac{\sin 45°}{\sin 45°} = 8 \, \text{см}\]

Ответ: длина стороны AB равна 8 см.

2) Для нахождения площади треугольника ABC и площади параллелограмма ABCD, мы будем использовать формулы для площади этих фигур.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\[S(ABC) = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника. Подставим в формулу известные значения:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2}\]

\[p = \frac{8 + 8 + 12}{2} = 14\]

\[S(ABC) = \sqrt{14(14 - 8)(14 - 8)(14 - 12)} = \sqrt{14 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 2} = \sqrt{1008} \approx 31,78 \, \text{см}^2\]

Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу:

\[S(ABCD) = AB \cdot \text{высота, проведенная к стороне AB}\]

В данной задаче высота, проведенная к стороне AB, не указана, поэтому мы не можем найти площадь параллелограмма ABCD.

3) Для нахождения площади параллелограмма и количества возможных способов определения площади, давайте рассмотрим каждый пункт задачи по отдельности:

1. Для нахождения площади параллелограмма SABCD, нам потребуется знание формулы площади параллелограмма:

\[S(ABCD) = AB \cdot \text{высота, проведенная к стороне AB}\]

Однако, в данной задаче высота, проведенная к стороне AB, неизвестна, поэтому мы не можем найти площадь параллелограмма SABCD.

2. Для определения площади параллелограмма можно использовать различные способы в зависимости от предоставленных данных. В общем случае, способов может быть несколько:

- Если известны длины сторон параллелограмма и угол между этими сторонами, то можно использовать формулу площади параллелограмма: \(S(ABCD) = AB \cdot BC \cdot \sin A\), где \(A\) - между сторонами AB и BC.
- Если известны длины базы (стороны, параллельной высоте) и высоты, проведенной к этой стороне, то можно использовать формулу площади параллелограмма: \(S(ABCD) = \text{база} \cdot \text{высота}\).
- Если известны сторона и высота, проведенная к этой стороне, то можно использовать формулу площади параллелограмма: \(S(ABCD) = \text{сторона} \cdot \text{высота}\).

В данной задаче нам известны только длина диагонали BD и длина стороны AD, поэтому мы не можем определить площадь параллелограмма SABCD или количество возможных способов определения площади.