При каком значении b выражения 3b + 1, 4b - 1, b2 + b и b2 + b + 1 будут образовывать последовательные члены

Для того чтобы определить, при каком значении переменной \( b \) выражения \( 3b + 1 \), \( 4b - 1 \), \( b^2 + b \) и \( b^2 + b + 1 \) будут образовывать последовательные члены арифметической прогрессии, мы можем использовать свойство арифметической прогрессии, согласно которому разность между любыми двумя последовательными членами одинакова.

Пусть первый член последовательности будет \( a \), а разность между последовательными членами будет \( d \).

Таким образом, первые четыре выражения могут быть записаны следующим образом:

Первый член: \( a = 3b + 1 \)

Второй член: \( a + d = 4b - 1 \)

Третий член: \( a + 2d = b^2 + b \)

Четвертый член: \( a + 3d = b^2 + b + 1 \)

Нам нужно найти значение переменной \( b \), при котором эти выражения образуют арифметическую прогрессию. Для этого мы можем решить систему уравнений, состоящую из этих четырех уравнений.

Вычтем второе уравнение из первого:

\((a + d) - a = (4b - 1) - (3b + 1)\)

\(d = b - 2\)

Теперь применим полученное значение \( d \) к третьему и четвертому уравнениям:

\(a + 2(b - 2) = b^2 + b\)

\(a + 3(b - 2) = b^2 + b + 1\)

Разрешим эти два уравнения относительно \( a \):

\((a - 2b + 4) - (a + 2b - 4) = (b^2 + b) - (4b - 1)\)

\(-4b + 8 = -3b + 1\)

\(b = 7\)

Теперь, зная значение \( b \), мы можем найти первый член последовательности и разность.

Подставим \( b = 7 \) в первое уравнение:

\(a = 3(7) + 1\)

\(a = 22\)

Таким образом, когда \( b = 7 \), выражения \( 3b + 1 \), \( 4b - 1 \), \( b^2 + b \) и \( b^2 + b + 1 \) будут образовывать последовательные члены арифметической прогрессии. Их значения составляют:

Первый член: \( a = 22 \)

Второй член: \( a + d = 22 + 7 - 2 = 27 \)

Третий член: \( a + 2d = 22 + 2(7 - 2) = 32 \)

Четвертый член: \( a + 3d = 22 + 3(7 - 2) = 37 \)

Таким образом, значения этих членов арифметической прогрессии при \( b = 7 \) равны 22, 27, 32 и 37 соответственно.