1. Using the Horner s scheme, find the partial quotient and the remainder of dividing polynomial A(x) by binomial

Хорошо, давайте приступим к решению задач по схеме Горнера.

1. Найдем частное и остаток от деления многочлена A(x) на бином B(x):

a) A(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1; B(x) = x + 1;

Применим схему Горнера для деления многочлена A(x) на B(x):

Распишем коэффициенты многочлена A(x) по убывающим степеням: 1, 3, 3, 1.

Примем за x+b коэффициенты многочлена B(x): 1, 1.

Выполним итерацию схемы Горнера:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 3 & 3 & 1 \\
\hline
-1 & & -2 & -1 & -2 \\
\hline
\end{array}
\]

Получаем остаток многочлена -2. Он равен значению A(-1). Частное равно многочлену q(x) = x^2 + 2x + 1.

b) A(x) = 5x^3 – 26x^2 + 25x – 4; B(x) = x – 5;

Распишем коэффициенты многочлена A(x) по убывающим степеням: 5, -26, 25, -4.

Примем за x+b коэффициенты многочлена B(x): -5, 1.

Выполним итерацию схемы Горнера:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 5 & -26 & 25 & -4 \\
\hline
5 & & 5 & -5 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Получаем остаток многочлена 0. Он равен значению A(5). Частное равно многочлену q(x) = 5x^2 + 5.

c) A(x) = x^4 – 15x^2 + 10x + 24; B(x) = x + 3;

Распишем коэффициенты многочлена A(x) по убывающим степеням: 1, 0, -15, 10, 24.

Примем за x+b коэффициенты многочлена B(x): 3, 1.

Выполним итерацию схемы Горнера:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 0 & -15 & 10 & 24 \\
\hline
-3 & & -3 & 9 & -18 & 16 \\
\hline
\end{array}
\]

Получаем остаток многочлена 16. Он равен значению A(-3). Частное равно многочлену q(x) = x^3 - 3x^2 + 9x - 18.

2. Проверим, делится ли многочлен f(x) на бином q(x):

a) f(x) = 4x^3 – x^2 – 27x – 18; q(x) = x + 2;

Распишем коэффициенты многочлена f(x) по убывающим степеням: 4, -1, -27, -18.

Примем за x+b коэффициенты многочлена q(x): 2, 1.

Выполним итерацию схемы Горнера:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 4 & -1 & -27 & -18 \\
\hline
-2 & & -8 & 18 & 18 \\
\hline
\end{array}
\]

Получаем остаток многочлена 18. Он не равен значению f(-2), поэтому многочлен f(x) не делится на q(x).

b) f(x) = x^4 – 8x^3 + 15x^2 + 4x – 20; q(x) = x – 2;

Распишем коэффициенты многочлена f(x) по убывающим степеням: 1, -8, 15, 4, -20.

Примем за x+b коэффициенты многочлена q(x): -2, 1.

Выполним итерацию схемы Горнера:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & -8 & 15 & 4 & -20 \\
\hline
2 & & 2 & -12 & 6 & 16 \\
\hline
\end{array}
\]

Получаем остаток многочлена 16. Он не равен значению f(2), значит, многочлен f(x) не делится на q(x).

3. Разделим многочлен A(x) на бином B(x):

a) A(x) = 2x^3 – 19x^2 + 32x + 21; B(x) = x – 7;

Распишем коэффициенты многочлена A(x) по убывающим степеням: 2, -19, 32, 21.

Примем за x+b коэффициенты многочлена B(x): -7, 1.

Выполним итерацию схемы Горнера:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 2 & -19 & 32 & 21 \\
\hline
7 & & 14 & -35 & -21 \\
\hline
\end{array}
\]

Получаем остаток многочлена -21. Он равен значению A(7). Частное равно многочлену q(x) = 2x^2 - 35.

b) A(x) = 4x^3 – 24x^2 + 21x – 5; B(x) = x – 5;

Распишем коэффициенты многочлена A(x) по убывающим степеням: 4, -24, 21, -5.

Примем за x+b коэффициенты многочлена B(x): -5, 1.

Выполним итерацию схемы Горнера:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 4 & -24 & 21 & -5 \\
\hline
5 & & 20 & -20 & 5 \\
\hline
\end{array}
\]

Получаем остаток многочлена 5. Он равен значению A(5). Частное равно многочлену q(x) = 4x^2 - 20x + 1.

Все решения с использованием схемы Горнера получены с подробным объяснением каждого шага. Если что-то не ясно, пожалуйста, просите дополнительные пояснения.