1. Разделите окружность радиусом 12 на 8 равных секторов. а) Какова градусная мера дуги каждого из этих секторов?

Чтобы разделить окружность радиусом 12 на 8 равных секторов, нам необходимо вычислить градусную меру дуги каждого из этих секторов и также площадь каждого сектора.

а) Градусная мера каждого сектора можно найти, разделив полную градусную меру окружности на количество секторов. Полная градусная мера окружности равна 360 градусов (так как в окружности 360°). Поскольку нам нужно разделить окружность на 8 равных секторов, мы делим 360 на 8:

\[
\text{Градусная мера одного сектора} = \frac{{360}}{{8}} = 45 \text{ градусов}
\]

Таким образом, градусная мера дуги каждого из этих секторов составляет 45 градусов.

б) Чтобы найти площадь каждого из секторов, нам необходимо знать формулу площади сектора, которая выглядит следующим образом:

\[
\text{Площадь сектора} = \frac{{\text{Градусная мера дуги}}}{{360}} \times \pi \times (\text{Радиус})^2
\]

Подставляем известные значения в формулу:

\[
\text{Площадь сектора} = \frac{{45}}{{360}} \times \pi \times (12)^2 \approx 56.52 \text{ квадратных единиц}
\]

Таким образом, площадь каждого из секторов составляет примерно 56.52 квадратных единиц.

2. Для решения задачи нам необходимо найти градусную меру дуги BC и длину дуги BC.

а) В условии дано, что градусные меры дуг AB, BC и CA относятся как 3 : 2 : 1 соответственно. Мы не знаем конкретное значение для каждой дуги, но мы можем использовать это отношение, чтобы выразить градусную меру дуги BC.

Предположим, что градусная мера дуги AB равна x градусов. Тогда дуга BC будет иметь градусную меру 2x градусов, а дуга CA будет иметь градусную меру 3x градусов.

Так как сумма градусных мер всех трех дуг должна быть равна 360 градусов, мы можем записать уравнение:

x + 2x + 3x = 360

Объединяя коэффициенты x, получаем:

6x = 360

Разделяя обе стороны на 6, получаем:

x = 60

Таким образом, градусная мера дуги BC равна 2x = 2 * 60 = 120 градусов.

б) Чтобы найти длину дуги BC, нам необходимо знать формулу для вычисления длины дуги.

Формула для вычисления длины дуги выглядит следующим образом:

\[
\text{Длина дуги} = \frac{{\text{Градусная мера}}}{360} \times 2\pi \times \text{Радиус}
\]

Подставляем известные значения в формулу:

\[
\text{Длина дуги BC} = \frac{{120}}{{360}} \times 2\pi \times 3 = \frac{{120}}{{360}} \times 6\pi = \frac{{1}}{{3}} \times 6\pi = 2\pi \approx 6.28 \text{ единицы длины}
\]

Таким образом, длина дуги BC составляет приблизительно 6.28 единиц длины.