1. При каких значениях n прямая будет параллельна плоскости, заданной уравнением 2x+4y−6z+7=0? 2. При каких значениях

Задача 1:
Для того чтобы понять, при каких значениях n прямая будет параллельна плоскости, заданной уравнением \(2x + 4y - 6z + 7 = 0\), мы можем использовать свойство параллельности. Для двух прямых параллельных плоскости вектор нормали одной из них должен быть коллинеарным с вектором нормали плоскости.

У нас есть плоскость, заданная уравнением \(2x + 4y - 6z + 7 = 0\). Вектор нормали этой плоскости можно определить по коэффициентам при \(x\), \(y\) и \(z\). Таким образом, вектор нормали данной плоскости будет \(\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\).

По свойству параллельности прямой и плоскости, вектор направления прямой должен быть коллинеарным с вектором нормали плоскости. Вектор направления прямой можно представить в виде \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — неизвестные значения.

Чтобы прямая была параллельна плоскости, вектор направления прямой \(\mathbf{v}\) должен быть коллинеарным с вектором нормали плоскости \(\mathbf{N}\). В таком случае, коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) должны быть пропорциональны коэффициентам \(\mathbf{N}\):
\[
\frac{a}{2} = \frac{b}{4} = \frac{c}{-6} = n
\]

Таким образом, для того чтобы прямая была параллельна плоскости, значения \(a\), \(b\) и \(c\) должны быть пропорциональны коэффициентам \(\mathbf{N}\). В данной задаче, мы обозначили эту пропорциональность как \(n\). Значения \(a\), \(b\) и \(c\) будут равны \(2n\), \(4n\) и \(-6n\) соответственно.

Ответ: Прямая будет параллельна плоскости, заданной уравнением \(2x + 4y - 6z + 7 = 0\) при значениях \(a = 2n\), \(b = 4n\) и \(c = -6n\), где \(n\) — произвольное действительное число.

Задача 2:
Чтобы прямая лежала в плоскости, определенной уравнением \(4x + By - 2z + D = 0\), вектор направления прямой должен быть перпендикулярным к вектору нормали плоскости.

У нас есть плоскость, заданная уравнением \(4x + By - 2z + D = 0\). Вектор нормали этой плоскости можно определить по коэффициентам при \(x\), \(y\) и \(z\). Таким образом, вектор нормали данной плоскости будет \(\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 4 \\ B \\ -2 \end{pmatrix}\).

Чтобы прямая лежала в плоскости, вектор направления прямой должен быть перпендикулярным к вектору нормали плоскости. Это означает, что скалярное произведение вектора направления прямой \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) и вектора нормали плоскости \(\mathbf{N}\) должно быть равно нулю:
\[
\mathbf{v} \cdot \mathbf{N} = a \cdot 4 + b \cdot B + c \cdot (-2) = 4a + Bb - 2c = 0
\]

Таким образом, для того чтобы прямая лежала в плоскости, значения \(a\), \(b\) и \(c\) должны удовлетворять уравнению \(4a + Bb - 2c = 0\).

Ответ: Прямая будет лежать в плоскости, определенной уравнением \(4x + By - 2z + D = 0\), при значениях \(a\), \(b\) и \(c\), которые удовлетворяют уравнению \(4a + Bb - 2c = 0\).