1) Правда ли, что sin(7π/12) - sin(π/12) = √2/2? 2) Совпадает ли следующее утверждение: sin(11π/18) + sin(7π/18

1) Чтобы проверить, справедливо ли утверждение \(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\) - \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), мы можем посчитать значения синусов с обеих сторон и сравнить их.

Сначала посчитаем значение \(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\)\):

\(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)\)

Используем формулу синуса суммы:

\(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\)

\(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\)

\(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

Теперь посчитаем значение \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\):

\(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right)\)

Используем формулу синуса разности:

\(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}\)

\(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4}\)

Теперь можем вычислить разность \(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\):

\(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}\)

\(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{4}\)

Таким образом, мы видим, что \(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\) - \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{4}\), а не \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Следовательно, утверждение неверно.

2) Чтобы проверить, равны ли \(\sin\left(\frac{11\pi}{18}\) + \sin\left(\frac{7\pi}{18}\right)\) и \(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)\), вычислим значения синусов и косинуса.

Сначала посчитаем значение \(\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right)\):

\(\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{9}\right)\)

Используем формулу синуса суммы:

\(\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\)

\(\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) + \frac{1}{2}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\)

Теперь посчитаем значение \(\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right)\):

\(\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{9}\right)\)

Используем формулу синуса разности:

\(\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\)

\(\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) - \frac{1}{2}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\)

Теперь посчитаем значение \(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)\):

\(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{9}\right)\)

Используем формулу косинуса разности:

\(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\)

\(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{1}{2}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\)

Сравним выражения \(\sin\left(\frac{11\pi}{18}\) + \sin\left(\frac{7\pi}{18}\right)\) и \(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)\):

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) + \frac{1}{2}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\) и \(\frac{1}{2}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\)

Мы видим, что эти два выражения равны. Таким образом, утверждение справедливо.

3) Для проверки, верно ли равенство \(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\) + \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\), вычислим значения косинусов с обеих сторон и сравним их.

Сначала посчитаем значение \(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)\):

\(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8}\right)\)

Используем формулу косинуса суммы:

\(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\)

\(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

\(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4} - \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4}\)

Теперь посчитаем значение \(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\):

\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}\right)\)

Используем формулу косинуса разности:

\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4}\)

Теперь посчитаем значение \(\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\):

\(\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8}\right)\)

Используем формулу косинуса суммы:

\(\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\)

\(\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

\(\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4} - \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4}\)

Сравним выражения \(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\) + \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\) и \(\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\):

\(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4} - \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4}\) и \(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4} - \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4}\)

Оба выражения равны. Таким образом, утверждение верно.

4) Для проверки, справедливо ли утверждение \(\cos\left(\frac{11\pi}{24}\) - \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = -\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\), мы можем посчитать значения косинусов и синуса и сравнить их.

Сначала посчитаем значение \(\cos\left(\frac{11\pi}{24}\right)\):

\(\cos\left(\frac{11\pi}{24}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{8}\right)\)

Используем формулу косинуса суммы:

\(\cos\left(\frac{11\pi}{24}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\)

\(\cos\left(\frac{11\pi}{24}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

\(\cos\left(\frac{11\pi}{24}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4} - \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4}\)

Теперь посчитаем значение \(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\):

\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}\right)\)

Используем формулу косинуса разности:

\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4}\)

Теперь посчитаем значение \(-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\):

\(-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{8}\right)\)

Используем формулу синуса разности:

\(-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\)

\(-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

\(-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right) = -\frac{\