1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5. 2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии a) tg α

Хорошо! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.

Для начала, давайте воспользуемся известным соотношением $\tan (\frac{\alpha }{2})=\frac{\sin (\alpha )}{1+\cos (\alpha )}$. Мы знаем, что $\tan (\frac{\alpha }{2})=5$, поэтому можем записать уравнение:

$$5=\frac{\sin (\alpha )}{1+\cos (\alpha )}$$

Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим обе части равенства на $1+\cos (\alpha )$:

$$5(1+\cos (\alpha ))=\sin (\alpha )$$

Разложим теперь по формуле разности квадратов в левой части:

$$5+5\cos (\alpha )=\sin (\alpha )$$

Теперь мы имеем уравнение, в котором присутствуют и синус, и косинус. Однако, для определения значений синуса и косинуса нам не хватает информации о косинусе. Таким образом, найти конкретные значения синуса и косинуса не представляется возможным на данном этапе решения.

2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии:
а) tg α = -3;
б) cot α = 3.

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся известными тригонометрическими формулами.

а) При условии $\tan (\alpha )=-3$, мы можем воспользоваться формулами:
$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )$ и
$\cos (2\alpha )={\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )$.

Сначала давайте рассчитаем значения синуса и косинуса:
$\sin (\alpha )=\frac{\tan (\alpha )}{\sqrt{1+{\tan }^2(\alpha )}}=\frac{-3}{\sqrt{1+(-3{)}^2}}=-\frac{3}{\sqrt{10}}$ и
$\cos (\alpha )=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2(\alpha )}}=\frac{1}{\sqrt{1+(-3{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Подставляя эти значения в формулы синуса и косинуса для двойного угла, получим:
$\sin (2\alpha )=2(-\frac{3}{\sqrt{10}})\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}$ и
$\cos (2\alpha )={\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )={\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}^2-{(-\frac{3}{\sqrt{10}})}^2=\frac{1}{10}-\frac{9}{10}=-\frac{8}{10}=-\frac{4}{5}$.

Таким образом, при $\tan (\alpha )=-3$, значения $\sin (2\alpha )$ и $\cos (2\alpha )$ равны $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{4}{5}$ соответственно.

б) При условии $\cot (\alpha )=3$, мы можем использовать те же самые формулы:

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )$ и
$\cos (2\alpha )={\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )$.

Подставим значения синуса и косинуса, которые мы получили из соотношений:

$\sin (\alpha )=\frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2(\alpha )}}=\frac{1}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ и
$\cos (\alpha )=\frac{\cot (\alpha )}{\sqrt{1+{\cot }^2(\alpha )}}=\frac{3}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$.

Подставив эти значения, получим:
$\sin (2\alpha )=2\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ и
$\cos (2\alpha )={\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )={\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)}^2-{\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}^2=\frac{9}{10}-\frac{1}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

Таким образом, при $\cot (\alpha )=3$, значения $\sin (2\alpha )$ и $\cos (2\alpha )$ равны $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$ соответственно.

3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.

К сожалению, в вашем запросе некоторая информация отсутствует. Пожалуйста, уточните, какое именно неравенство вам требуется доказать, и я буду рад помочь.

4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.

Для доказательства этого утверждения, воспользуемся определениями функций синуса и тангенса:

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )$ и
$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$.

Чтобы сравнить знаки этих функций, предположим, что $\alpha$ находится в диапазоне $0<\alpha <\pi /2$.

Так как все значения косинуса и синуса для этого диапазона положительны, то их произведение, а значит и $\sin (2\alpha )$, также будет положительным.

Далее, обратимся к определению тангенса: $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$.
Так как синус и косинус положительны для $0<\alpha <\pi /2$, тангенс также будет положительным.

Таким образом, для любого значения $\alpha$ в диапазоне $0<\alpha <\pi /2$, значения $\sin (2\alpha )$ и $\tan (\alpha )$ будут иметь одинаковый знак (оба положительные).

Аналогично, можно продемонстрировать, что для значений $\alpha$ в диапазоне $\pi /2<\alpha <\pi$ или $\pi <\alpha <2\pi$, значения $\sin (2\alpha )$ и $\tan (\alpha )$ будут иметь одинаковый знак (оба отрицательные).

5. Если $\tan (\alpha /2)=\frac{1}{2}$, найти:
а) значение ${\sin }^4(\alpha )-{\cos }^4(\alpha )$;
б) значение $\sin (\alpha )\cos (\alpha )$.

Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические формулы, чтобы выразить синус и косинус через тангенс.

а) Перепишем $\tan (\alpha /2)$ с помощью формулы $\tan (\alpha /2)=\frac{\sin (\alpha )}{1+\cos (\alpha )}$:

$\frac{\sin (\alpha )}{1+\cos (\alpha )}=\frac{1}{2}$.

Чтобы получить выражение для $\sin (\alpha )$, умножим обе части равенства на $1+\cos (\alpha )$:

$\sin (\alpha )=\frac{1}{2}(1+\cos (\alpha ))$.

Теперь, для выражения ${\sin }^4(\alpha )-{\cos }^4(\alpha )$, воспользуемся тем, что ${\sin }^2(\alpha )=1-{\cos }^2(\alpha )$:

${\sin }^4(\alpha )-{\cos }^4(\alpha )=({\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha ))({\sin }^2(\alpha )-{\cos }^2(\alpha ))={\sin }^2(\alpha )-{\cos }^2(\alpha )$.

Далее, воспользуемся полученным выражением для $\sin (\alpha )$:

${\sin }^4(\alpha )-{\cos }^4(\alpha )={(\frac{1}{2}(1+\cos (\alpha )))}^2-{\cos }^2(\alpha )$.

Упростив это выражение, получим:

${\sin }^4(\alpha )-{\cos }^4(\alpha )=\frac{1}{4}(1+2\cos (\alpha )+{\cos }^2(\alpha ))-{\cos }^2(\alpha )=\frac{1}{4}(1+{\cos }^2(\alpha ))$.

б) Для вычисления значения $\sin (\alpha )\cos (\alpha )$, воспользуемся тем же выражением для $\sin (\alpha )$:

$\sin (\alpha )=\frac{1}{2}(1+\cos (\alpha ))$.

$\sin (\alpha )\cos (\alpha )=\frac{1}{2}(1+\cos (\alpha ))\cos (\alpha )$.

Упростив это выражение, получим:

$\sin (\alpha )\cos (\alpha )=\frac{1}{2}(\cos (\alpha )+{\cos }^2(\alpha ))$.

Надеюсь, эти подробные пошаговые решения помогут вам лучше понять данные задачи и приобрести навыки для их решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь!