1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5. 2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии a) tg α

1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии a) tg α = —3; б) ctg α = 3.
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
5. Если tg α/2 = 1/2, найти: а) значение sin4 α — cos4 α; б) значение sin α • cos α •.
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Yastrebok

Yastrebok

Хорошо! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.

Для начала, давайте воспользуемся известным соотношением tan(α2)=sin(α)1+cos(α). Мы знаем, что tan(α2)=5, поэтому можем записать уравнение:

5=sin(α)1+cos(α)

Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим обе части равенства на 1+cos(α):

5(1+cos(α))=sin(α)

Разложим теперь по формуле разности квадратов в левой части:

5+5cos(α)=sin(α)

Теперь мы имеем уравнение, в котором присутствуют и синус, и косинус. Однако, для определения значений синуса и косинуса нам не хватает информации о косинусе. Таким образом, найти конкретные значения синуса и косинуса не представляется возможным на данном этапе решения.

2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии:
а) tg α = -3;
б) cot α = 3.

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся известными тригонометрическими формулами.

а) При условии tan(α)=3, мы можем воспользоваться формулами:
sin(2α)=2sin(α)cos(α) и
cos(2α)=cos2(α)sin2(α).

Сначала давайте рассчитаем значения синуса и косинуса:
sin(α)=tan(α)1+tan2(α)=31+(3)2=310 и
cos(α)=11+tan2(α)=11+(3)2=110.

Подставляя эти значения в формулы синуса и косинуса для двойного угла, получим:
sin(2α)=2(310)(110)=610=35 и
cos(2α)=cos2(α)sin2(α)=(110)2(310)2=110910=810=45.

Таким образом, при tan(α)=3, значения sin(2α) и cos(2α) равны 35 и 45 соответственно.

б) При условии cot(α)=3, мы можем использовать те же самые формулы:

sin(2α)=2sin(α)cos(α) и
cos(2α)=cos2(α)sin2(α).

Подставим значения синуса и косинуса, которые мы получили из соотношений:

sin(α)=11+cot2(α)=11+32=110 и
cos(α)=cot(α)1+cot2(α)=31+32=310.

Подставив эти значения, получим:
sin(2α)=2(110)(310)=610=35 и
cos(2α)=cos2(α)sin2(α)=(310)2(110)2=910110=810=45.

Таким образом, при cot(α)=3, значения sin(2α) и cos(2α) равны 35 и 45 соответственно.

3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.

К сожалению, в вашем запросе некоторая информация отсутствует. Пожалуйста, уточните, какое именно неравенство вам требуется доказать, и я буду рад помочь.

4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.

Для доказательства этого утверждения, воспользуемся определениями функций синуса и тангенса:

sin(2α)=2sin(α)cos(α) и
tan(α)=sin(α)cos(α).

Чтобы сравнить знаки этих функций, предположим, что α находится в диапазоне 0<α<π/2.

Так как все значения косинуса и синуса для этого диапазона положительны, то их произведение, а значит и sin(2α), также будет положительным.

Далее, обратимся к определению тангенса: tan(α)=sin(α)cos(α).
Так как синус и косинус положительны для 0<α<π/2, тангенс также будет положительным.

Таким образом, для любого значения α в диапазоне 0<α<π/2, значения sin(2α) и tan(α) будут иметь одинаковый знак (оба положительные).

Аналогично, можно продемонстрировать, что для значений α в диапазоне π/2<α<π или π<α<2π, значения sin(2α) и tan(α) будут иметь одинаковый знак (оба отрицательные).

5. Если tan(α/2)=12, найти:
а) значение sin4(α)cos4(α);
б) значение sin(α)cos(α).

Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические формулы, чтобы выразить синус и косинус через тангенс.

а) Перепишем tan(α/2) с помощью формулы tan(α/2)=sin(α)1+cos(α):

sin(α)1+cos(α)=12.

Чтобы получить выражение для sin(α), умножим обе части равенства на 1+cos(α):

sin(α)=12(1+cos(α)).

Теперь, для выражения sin4(α)cos4(α), воспользуемся тем, что sin2(α)=1cos2(α):

sin4(α)cos4(α)=(sin2(α)+cos2(α))(sin2(α)cos2(α))=sin2(α)cos2(α).

Далее, воспользуемся полученным выражением для sin(α):

sin4(α)cos4(α)=(12(1+cos(α)))2cos2(α).

Упростив это выражение, получим:

sin4(α)cos4(α)=14(1+2cos(α)+cos2(α))cos2(α)=14(1+cos2(α)).

б) Для вычисления значения sin(α)cos(α), воспользуемся тем же выражением для sin(α):

sin(α)=12(1+cos(α)).

sin(α)cos(α)=12(1+cos(α))cos(α).

Упростив это выражение, получим:

sin(α)cos(α)=12(cos(α)+cos2(α)).

Надеюсь, эти подробные пошаговые решения помогут вам лучше понять данные задачи и приобрести навыки для их решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь!
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello