1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии a) tg α = —3; б) ctg α = 3.
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
5. Если tg α/2 = 1/2, найти: а) значение sin4 α — cos4 α; б) значение sin α • cos α •.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии a) tg α = —3; б) ctg α = 3.
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
5. Если tg α/2 = 1/2, найти: а) значение sin4 α — cos4 α; б) значение sin α • cos α •.
Yastrebok
Хорошо! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:
1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.
Для начала, давайте воспользуемся известным соотношением \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}\). Мы знаем, что \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = 5\), поэтому можем записать уравнение:
\[5 = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}\]
Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим обе части равенства на \(1 + \cos(\alpha)\):
\[5(1 + \cos(\alpha)) = \sin(\alpha)\]
Разложим теперь по формуле разности квадратов в левой части:
\[5 + 5\cos(\alpha) = \sin(\alpha)\]
Теперь мы имеем уравнение, в котором присутствуют и синус, и косинус. Однако, для определения значений синуса и косинуса нам не хватает информации о косинусе. Таким образом, найти конкретные значения синуса и косинуса не представляется возможным на данном этапе решения.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии:
а) tg α = -3;
б) cot α = 3.
Для решения этой задачи, давайте воспользуемся известными тригонометрическими формулами.
а) При условии \(\tan(\alpha) = -3\), мы можем воспользоваться формулами:
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\) и
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\).
Сначала давайте рассчитаем значения синуса и косинуса:
\(\sin(\alpha) = \frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}} = \frac{-3}{\sqrt{1 + (-3)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{10}}\) и
\(\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (-3)^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\).
Подставляя эти значения в формулы синуса и косинуса для двойного угла, получим:
\(\sin(2\alpha) = 2\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\) и
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}\).
Таким образом, при \(\tan(\alpha) = -3\), значения \(\sin(2\alpha)\) и \(\cos(2\alpha)\) равны \(-\frac{3}{5}\) и \(-\frac{4}{5}\) соответственно.
б) При условии \(\cot(\alpha) = 3\), мы можем использовать те же самые формулы:
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\) и
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\).
Подставим значения синуса и косинуса, которые мы получили из соотношений:
\(\sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2(\alpha)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\) и
\(\cos(\alpha) = \frac{\cot(\alpha)}{\sqrt{1 + \cot^2(\alpha)}} = \frac{3}{\sqrt{1 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}\).
Подставив эти значения, получим:
\(\sin(2\alpha) = 2\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\) и
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} - \frac{1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\).
Таким образом, при \(\cot(\alpha) = 3\), значения \(\sin(2\alpha)\) и \(\cos(2\alpha)\) равны \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{4}{5}\) соответственно.
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
К сожалению, в вашем запросе некоторая информация отсутствует. Пожалуйста, уточните, какое именно неравенство вам требуется доказать, и я буду рад помочь.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
Для доказательства этого утверждения, воспользуемся определениями функций синуса и тангенса:
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\) и
\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).
Чтобы сравнить знаки этих функций, предположим, что \(\alpha\) находится в диапазоне \(0 < \alpha < \pi/2\).
Так как все значения косинуса и синуса для этого диапазона положительны, то их произведение, а значит и \(\sin(2\alpha)\), также будет положительным.
Далее, обратимся к определению тангенса: \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).
Так как синус и косинус положительны для \(0 < \alpha < \pi/2\), тангенс также будет положительным.
Таким образом, для любого значения \(\alpha\) в диапазоне \(0 < \alpha < \pi/2\), значения \(\sin(2\alpha)\) и \(\tan(\alpha)\) будут иметь одинаковый знак (оба положительные).
Аналогично, можно продемонстрировать, что для значений \(\alpha\) в диапазоне \(\pi/2 < \alpha < \pi\) или \(\pi < \alpha < 2\pi\), значения \(\sin(2\alpha)\) и \(\tan(\alpha)\) будут иметь одинаковый знак (оба отрицательные).
5. Если \(\tan(\alpha/2) = \frac{1}{2}\), найти:
а) значение \(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha)\);
б) значение \(\sin(\alpha)\cos(\alpha)\).
Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические формулы, чтобы выразить синус и косинус через тангенс.
а) Перепишем \(\tan(\alpha/2)\) с помощью формулы \(\tan(\alpha/2) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}\):
\(\frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} = \frac{1}{2}\).
Чтобы получить выражение для \(\sin(\alpha)\), умножим обе части равенства на \(1 + \cos(\alpha)\):
\(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}(1 + \cos(\alpha))\).
Теперь, для выражения \(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha)\), воспользуемся тем, что \(\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)\):
\(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))(\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)) = \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)\).
Далее, воспользуемся полученным выражением для \(\sin(\alpha)\):
\(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = \left(\frac{1}{2}(1 + \cos(\alpha))\right)^2 - \cos^2(\alpha)\).
Упростив это выражение, получим:
\(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) - \cos^2(\alpha) = \frac{1}{4}(1 + \cos^2(\alpha))\).
б) Для вычисления значения \(\sin(\alpha)\cos(\alpha)\), воспользуемся тем же выражением для \(\sin(\alpha)\):
\(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}(1 + \cos(\alpha))\).
\(\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}(1 + \cos(\alpha))\cos(\alpha)\).
Упростив это выражение, получим:
\(\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha))\).
Надеюсь, эти подробные пошаговые решения помогут вам лучше понять данные задачи и приобрести навыки для их решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь!
1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.
Для начала, давайте воспользуемся известным соотношением \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}\). Мы знаем, что \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = 5\), поэтому можем записать уравнение:
\[5 = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}\]
Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим обе части равенства на \(1 + \cos(\alpha)\):
\[5(1 + \cos(\alpha)) = \sin(\alpha)\]
Разложим теперь по формуле разности квадратов в левой части:
\[5 + 5\cos(\alpha) = \sin(\alpha)\]
Теперь мы имеем уравнение, в котором присутствуют и синус, и косинус. Однако, для определения значений синуса и косинуса нам не хватает информации о косинусе. Таким образом, найти конкретные значения синуса и косинуса не представляется возможным на данном этапе решения.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии:
а) tg α = -3;
б) cot α = 3.
Для решения этой задачи, давайте воспользуемся известными тригонометрическими формулами.
а) При условии \(\tan(\alpha) = -3\), мы можем воспользоваться формулами:
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\) и
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\).
Сначала давайте рассчитаем значения синуса и косинуса:
\(\sin(\alpha) = \frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}} = \frac{-3}{\sqrt{1 + (-3)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{10}}\) и
\(\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (-3)^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\).
Подставляя эти значения в формулы синуса и косинуса для двойного угла, получим:
\(\sin(2\alpha) = 2\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\) и
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}\).
Таким образом, при \(\tan(\alpha) = -3\), значения \(\sin(2\alpha)\) и \(\cos(2\alpha)\) равны \(-\frac{3}{5}\) и \(-\frac{4}{5}\) соответственно.
б) При условии \(\cot(\alpha) = 3\), мы можем использовать те же самые формулы:
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\) и
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\).
Подставим значения синуса и косинуса, которые мы получили из соотношений:
\(\sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2(\alpha)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\) и
\(\cos(\alpha) = \frac{\cot(\alpha)}{\sqrt{1 + \cot^2(\alpha)}} = \frac{3}{\sqrt{1 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}\).
Подставив эти значения, получим:
\(\sin(2\alpha) = 2\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\) и
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} - \frac{1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\).
Таким образом, при \(\cot(\alpha) = 3\), значения \(\sin(2\alpha)\) и \(\cos(2\alpha)\) равны \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{4}{5}\) соответственно.
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
К сожалению, в вашем запросе некоторая информация отсутствует. Пожалуйста, уточните, какое именно неравенство вам требуется доказать, и я буду рад помочь.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
Для доказательства этого утверждения, воспользуемся определениями функций синуса и тангенса:
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\) и
\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).
Чтобы сравнить знаки этих функций, предположим, что \(\alpha\) находится в диапазоне \(0 < \alpha < \pi/2\).
Так как все значения косинуса и синуса для этого диапазона положительны, то их произведение, а значит и \(\sin(2\alpha)\), также будет положительным.
Далее, обратимся к определению тангенса: \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).
Так как синус и косинус положительны для \(0 < \alpha < \pi/2\), тангенс также будет положительным.
Таким образом, для любого значения \(\alpha\) в диапазоне \(0 < \alpha < \pi/2\), значения \(\sin(2\alpha)\) и \(\tan(\alpha)\) будут иметь одинаковый знак (оба положительные).
Аналогично, можно продемонстрировать, что для значений \(\alpha\) в диапазоне \(\pi/2 < \alpha < \pi\) или \(\pi < \alpha < 2\pi\), значения \(\sin(2\alpha)\) и \(\tan(\alpha)\) будут иметь одинаковый знак (оба отрицательные).
5. Если \(\tan(\alpha/2) = \frac{1}{2}\), найти:
а) значение \(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha)\);
б) значение \(\sin(\alpha)\cos(\alpha)\).
Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические формулы, чтобы выразить синус и косинус через тангенс.
а) Перепишем \(\tan(\alpha/2)\) с помощью формулы \(\tan(\alpha/2) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}\):
\(\frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} = \frac{1}{2}\).
Чтобы получить выражение для \(\sin(\alpha)\), умножим обе части равенства на \(1 + \cos(\alpha)\):
\(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}(1 + \cos(\alpha))\).
Теперь, для выражения \(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha)\), воспользуемся тем, что \(\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)\):
\(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))(\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)) = \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)\).
Далее, воспользуемся полученным выражением для \(\sin(\alpha)\):
\(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = \left(\frac{1}{2}(1 + \cos(\alpha))\right)^2 - \cos^2(\alpha)\).
Упростив это выражение, получим:
\(\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) - \cos^2(\alpha) = \frac{1}{4}(1 + \cos^2(\alpha))\).
б) Для вычисления значения \(\sin(\alpha)\cos(\alpha)\), воспользуемся тем же выражением для \(\sin(\alpha)\):
\(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}(1 + \cos(\alpha))\).
\(\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}(1 + \cos(\alpha))\cos(\alpha)\).
Упростив это выражение, получим:
\(\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha))\).
Надеюсь, эти подробные пошаговые решения помогут вам лучше понять данные задачи и приобрести навыки для их решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
