1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии a) tg α = —3; б) ctg α = 3.
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
5. Если tg α/2 = 1/2, найти: а) значение sin4 α — cos4 α; б) значение sin α • cos α •.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии a) tg α = —3; б) ctg α = 3.
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
5. Если tg α/2 = 1/2, найти: а) значение sin4 α — cos4 α; б) значение sin α • cos α •.

Yastrebok
Хорошо! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:
1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.
Для начала, давайте воспользуемся известным соотношением . Мы знаем, что , поэтому можем записать уравнение:
Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим обе части равенства на :
Разложим теперь по формуле разности квадратов в левой части:
Теперь мы имеем уравнение, в котором присутствуют и синус, и косинус. Однако, для определения значений синуса и косинуса нам не хватает информации о косинусе. Таким образом, найти конкретные значения синуса и косинуса не представляется возможным на данном этапе решения.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии:
а) tg α = -3;
б) cot α = 3.
Для решения этой задачи, давайте воспользуемся известными тригонометрическими формулами.
а) При условии , мы можем воспользоваться формулами:
и
.
Сначала давайте рассчитаем значения синуса и косинуса:
и
.
Подставляя эти значения в формулы синуса и косинуса для двойного угла, получим:
и
.
Таким образом, при , значения и равны и соответственно.
б) При условии , мы можем использовать те же самые формулы:
и
.
Подставим значения синуса и косинуса, которые мы получили из соотношений:
и
.
Подставив эти значения, получим:
и
.
Таким образом, при , значения и равны и соответственно.
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
К сожалению, в вашем запросе некоторая информация отсутствует. Пожалуйста, уточните, какое именно неравенство вам требуется доказать, и я буду рад помочь.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
Для доказательства этого утверждения, воспользуемся определениями функций синуса и тангенса:
и
.
Чтобы сравнить знаки этих функций, предположим, что находится в диапазоне .
Так как все значения косинуса и синуса для этого диапазона положительны, то их произведение, а значит и , также будет положительным.
Далее, обратимся к определению тангенса: .
Так как синус и косинус положительны для , тангенс также будет положительным.
Таким образом, для любого значения в диапазоне , значения и будут иметь одинаковый знак (оба положительные).
Аналогично, можно продемонстрировать, что для значений в диапазоне или , значения и будут иметь одинаковый знак (оба отрицательные).
5. Если , найти:
а) значение ;
б) значение .
Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические формулы, чтобы выразить синус и косинус через тангенс.
а) Перепишем с помощью формулы :
.
Чтобы получить выражение для , умножим обе части равенства на :
.
Теперь, для выражения , воспользуемся тем, что :
.
Далее, воспользуемся полученным выражением для :
.
Упростив это выражение, получим:
.
б) Для вычисления значения , воспользуемся тем же выражением для :
.
.
Упростив это выражение, получим:
.
Надеюсь, эти подробные пошаговые решения помогут вам лучше понять данные задачи и приобрести навыки для их решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь!
1. Найти значения sin α и cos α, при условии tg α/2 = 5.
Для начала, давайте воспользуемся известным соотношением
Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим обе части равенства на
Разложим теперь по формуле разности квадратов в левой части:
Теперь мы имеем уравнение, в котором присутствуют и синус, и косинус. Однако, для определения значений синуса и косинуса нам не хватает информации о косинусе. Таким образом, найти конкретные значения синуса и косинуса не представляется возможным на данном этапе решения.
2. Найти значения sin 2α и cos 2α, при условии:
а) tg α = -3;
б) cot α = 3.
Для решения этой задачи, давайте воспользуемся известными тригонометрическими формулами.
а) При условии
Сначала давайте рассчитаем значения синуса и косинуса:
Подставляя эти значения в формулы синуса и косинуса для двойного угла, получим:
Таким образом, при
б) При условии
Подставим значения синуса и косинуса, которые мы получили из соотношений:
Подставив эти значения, получим:
Таким образом, при
3. Представить тригонометрическое доказательство неравенства.
К сожалению, в вашем запросе некоторая информация отсутствует. Пожалуйста, уточните, какое именно неравенство вам требуется доказать, и я буду рад помочь.
4. Доказать, что значения sin 2α и tg α имеют одинаковый знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю) для любого значения α.
Для доказательства этого утверждения, воспользуемся определениями функций синуса и тангенса:
Чтобы сравнить знаки этих функций, предположим, что
Так как все значения косинуса и синуса для этого диапазона положительны, то их произведение, а значит и
Далее, обратимся к определению тангенса:
Так как синус и косинус положительны для
Таким образом, для любого значения
Аналогично, можно продемонстрировать, что для значений
5. Если
а) значение
б) значение
Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические формулы, чтобы выразить синус и косинус через тангенс.
а) Перепишем
Чтобы получить выражение для
Теперь, для выражения
Далее, воспользуемся полученным выражением для
Упростив это выражение, получим:
б) Для вычисления значения
Упростив это выражение, получим:
Надеюсь, эти подробные пошаговые решения помогут вам лучше понять данные задачи и приобрести навыки для их решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь!
Знаешь ответ?