1) Найти максимумы и минимумы функции: 1) f(x)=x^3-3x^2+32x+2. 2) f(x)=x^2*e^x. 2) Поиск экстремумов функций

Хорошо, давайте решим задачи по поиску максимумов и минимумов для данных функций.

1) Дана функция \(f(x)=x^3-3x^2+32x+2\).

Для того чтобы найти максимумы и минимумы данной функции, нам необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Вычислим производную функции \(f"(x)\):
\[f"(x) = 3x^2 - 6x + 32.\]

Теперь приравняем \(f"(x)\) к нулю и найдем значения \(x\):
\[3x^2 - 6x + 32 = 0.\]

Для решения этого квадратного уравнения нам понадобится дискриминант. Вычислим его:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 36 - 384 = -348.\]

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет точек экстремума на прямой \(x\). Таким образом, данная функция не имеет максимумов или минимумов.

2) Дана функция \(f(x)=x^2 \cdot e^x\).

Для начала, вычислим производную функции \(f"(x)\) при помощи правила производной произведения:
\[f"(x) = (2x \cdot e^x) + (x^2 \cdot e^x).\]

Теперь приравняем \(f"(x)\) к нулю и найдем значения \(x\):
\[(2x \cdot e^x) + (x^2 \cdot e^x) = 0.\]

Для решения этого уравнения нам понадобится факторизация. Вынесем общий множитель:
\[2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = 0.\]
\[x \cdot (2e^x + x \cdot e^x) = 0.\]

Теперь мы имеем два варианта: либо \(x = 0\), либо \((2e^x + x \cdot e^x) = 0\).

Если \(x = 0\), то \(f(x) = 0^2 \cdot e^0 = 0\). Таким образом, точка \(x = 0\) является точкой экстремума функции.

Анализируя второе уравнение, мы видим, что оно не имеет простого аналитического решения. В этом случае, чтобы найти точные значения экстремумов, нам понадобится использовать численные методы или графический анализ.

Итак, у функции \(f(x) = x^2 \cdot e^x\) есть одна точка экстремума: \(x = 0\).