1) Напишите уравнение касательной к кривой, заданной функцией y=5-12 корень из 3x+3, в точке с координатой x0=1/3

1) Для написания уравнения касательной к кривой, мы должны найти производную функции и подставить значения точки, в которой мы хотим найти касательную. Давайте начнем.

Функция, заданная уравнением y = 5 - 12√(3x + 3), является неявной функцией. Чтобы найти производную этой функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Подставим \(u = 3x + 3\), тогда \(y = 5 - 12√u\).

Найдем производную функции \(y\) по \(x\) с помощью правила дифференцирования сложной функции:
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}
\]

Дифференцируя \(y = 5 - 12√u\), получаем:
\[
\frac{{dy}}{{du}} = -\frac{{12}}{{2\sqrt{u}}} = -\frac{{6}}{{\sqrt{u}}}
\]

Используя \(u = 3x + 3\), мы можем найти производную \(du/dx\):
\[
\frac{{du}}{{dx}} = 3
\]

Теперь мы можем найти производную y по x:
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{6}}{{\sqrt{3x+3}}} \cdot 3 = -\frac{{18}}{{\sqrt{3x+3}}}
\]

Чтобы найти уравнение касательной, мы можем использовать формулу \(y - y_0 = m(x - x_0)\), где \(m\) - производная в точке \((x_0, y_0)\).

Для точки \((x_0, y_0) = (1/3, 5 - 12√(3(1/3) + 3)) = (1/3, 5 - 12)\) с координатой \(x_0 = 1/3\), мы можем подставить значения в формулу:
\[
y - (5 - 12) = -\frac{{18}}{{\sqrt{3x+3}}} \cdot (x - \frac{1}{3})
\]
\[
y + 7 = -\frac{{18}}{{\sqrt{3x+3}}} \cdot (x - \frac{1}{3})
\]

Таким образом, уравнение касательной к кривой в точке с координатой \(x_0 = 1/3\) будет:
\[
y = -\frac{{18}}{{\sqrt{3x+3}}} \cdot \left(x - \frac{1}{3}\right) - 7
\]

2) Функция, заданная уравнением \(y = -10x - \frac{9}{2}(x + 1)\), уже является явной функцией, поэтому производную можно найти сразу.

Найдем производную функции \(y\) по \(x\):
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -10 - \frac{9}{2} = -10 - \frac{9}{2} = -\frac{29}{2}
\]

Чтобы найти уравнение касательной, мы можем использовать формулу \(y - y_0 = m(x - x_0)\), где \(m\) - производная в точке \((x_0, y_0)\).

Для точки \((x_0, y_0) = (-5/4, -10(-5/4) - \frac{9}{2}(-5/4 + 1)) = (-5/4, 25/2 + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{4}) = (-5/4, 25/2 + \frac{9}{8})\) с координатой \(x_0 = -5/4\), мы можем подставить значения в формулу:
\[
y - (25/2 + \frac{9}{8}) = -\frac{29}{2} \cdot (x - (-5/4))
\]
\[
y - \frac{49}{8} = -\frac{29}{2} \cdot \left(x + \frac{5}{4}\right)
\]

Таким образом, уравнение касательной к функции в точке с координатой \(x_0 = -5/4\) будет:
\[
y = -\frac{29}{2} \cdot \left(x + \frac{5}{4}\right) + \frac{49}{8}
\]